8.1 Relativistische kracht

Eén van de grondgedachten van de relativiteitstheorie is dat ruimte en tijd nauw met elkaar verbonden begrippen zijn. Ze vormen samen één 4-dimensionale ruimte, waarvan de punten bestaan uit gebeurtenissen. Deze zijn in verschillende inertiaalsystemen voorzien van verschillende ruimte-tijd coördinaten, die door Lorentz transformaties zijn verbonden. In overeenstemming hiermee kan men in de relativiteitstheorie voor allerlei begrippen en grootheden een 4-dimensionale vorm kiezen. Dit heeft grote voordelen. We krijgen compacte en transparante formuleringen en de relativistische eigenschappen worden duidelijk zichtbaar. We hebben dat bijvoorbeeld gezien bij de begrippen energie en impuls die we in één Lorentz 4-vector konden samenvatten.

We gaan uit van de bewegingsvergelijking (8.1), die we schrijven als
\begin{displaymath} \frac{d\vec p}{dt}=\vec F,\end{displaymath} (8.24)

met de $\vec p=m\vec v$ de impuls. Newton heeft zelf al zijn wet geformuleerde als kracht is de verandering van impuls. Duidelijk is dat deze wet geldig is bij lage snelheden. We weten dat $\vec p$ deel is van een 4-vector $\underline{p}$, en evenals bij de bepaling van de snelheids 4-vector is duidelijk dat $d\underline{p}/d\tau$ weer een Lorentz 4-vector is. We kunnen aldus een Lorentz 4-vector $\underline{K}$ invoeren, die de rol van relativistische kracht moet spelen
\begin{displaymath} \frac{d\underline{p}}{d\tau}=\underline{K}\ .\end{displaymath} (8.25)

Aangezien
\begin{displaymath} \frac{d\underline{p}}{d\tau}=\gamma(v)\frac{d\underline{p}}{dt}= \underline{K}\ ,\end{displaymath} (8.26)

zodat kennelijk
\begin{displaymath} \vec K=\gamma(v)\vec F.\end{displaymath} (8.27)

Net als de impuls 4-vector $\underline{p}$, heeft de relativistische kracht slechts drie onafhankelijke componenten. Immers, dp0/dt=c-1dE/dt en dE/dt is de verrichtte arbeid per tijdseenheid. Arbeid is kracht maal afgelegde afstand, zodat arbeid per tijdseenheid gegeven wordt door kracht maal snelheid
\begin{displaymath} \begin{array} {l} dE/dt=cdp_0/dt=\vec v\cdot\vec F.\end{array}\end{displaymath} (8.28)

Inderdaad kunnen we dit afleiden uit verg. (8.24):
\begin{displaymath} \begin{array} {l}\frac{dE}{dt}={\scriptstyle{{1\over 2}}}m\g... ...ot \frac{d\vec w}{dt}=\vec v\cdot\frac{d\vec p}{dt}.\end{array}\end{displaymath} (8.29)

Hierbij gebruikten we op slinkse wijze dat $\underline{w}\cdot\underline{w} =\gamma^2(v)c^2-\vec w\cdot\vec w=c^2$, $\vec w=\gamma(v)\vec v$ en dat $d(\vec w\cdot\vec w)/dt=2\vec w\cdot d\vec w/dt$. Dit laatste bewijst men eenvoudig door het inwendig product in componenten uit te schrijven. Aangezien $d\vec p/dt=\vec F$, hebben we nu het bewijs van verg. (8.28) rond. In termen van $\underline{K}$ hebben we dus
\begin{displaymath} \begin{array} {l} K_0=dp_0/d\tau=c^{-1}\gamma(v)dE/dt=c^{-1}\gamma(v)\vec v \cdot\vec F=\vec K\cdot\vec v/c.\end{array}\end{displaymath} (8.30)

Een willekeurige relativisitische kracht wordt kennelijk verkregen door, uitgaande van het (lokale) ruststelsel, te transformeren met de Lorentz transformatie van verg. (4.41), gebruikmakende van een snelheid $\vec u=-\vec v$ (in de richting van de kracht). In het ruststelsel wordt de (gewone) Newtonse kracht, $\vec F\equiv\vec F^o$, gebruikt (de index o is om te benadrukken dat $\vec F^o$ de kracht in het ruststelsel is gedefinieerd). De 4-vector $\underline{K}$ wordt dan gegeven door (0,Fo1,Fo2,Fo3). Dus verg. (8.25) kan als een relativistische bewegingsvergelijking gezien worden. In deze formulering is het duidelijk dat de wet van Newton niet fout is; het is alleen van belang duidelijk te maken in welk stelsel deze kan worden toegepast - in het lokale Lorentz stelsel (ruststelsel) dus, dat uiteraard tijdens de beweging verandert.

Een van de postulaten van de relativiteitstheorie, bevat in de definitie van een intertiaalstelsel is, dat een deeltje waar geen krachten op werken, zich eenparig rechtlijnig voortbeweegt, dus met constante snelheid. Is nu $\vec F$een willekeurige andere kracht, zodanig dat in het ruststelsel de krachten precies in balans zijn, dan is er ook een balans in alle andere stelsels.

Beschouw als voorbeeld een ruimteschip, dat een constante versnelling ondergaat. Hier is het meest voor de hand liggend uitgangspunt het ruststelsel, immers het is in dat stelsel dat de kracht wordt uitgeoefend (bepaald door de stuwkracht t.o.v. het ruimteschip). We nemen voor het gemak de versnelling in de x-richting, met een waarde a=Fo/m. Er geldt dus $d\underline{w}/d\tau= \underline{K}/m$, met $K_1/m=\gamma(v)a$ en K0=vK1/c, zodat $dw_0/d\tau= v\gamma(v)a/c=w_1a/c$. Aangezien $w_0=c\gamma(v)$ en $w_1=dx/d\tau$, volgt $d(xa/c-c\gamma(v))/d\tau$=0. Dit heeft (met x(t=0)=v(t=0)=0 als randvoorwaarde) $x=(\gamma(v)-1)c^2/a$ als oplossing. Hieruit is nu v=dx/dt als functie van x te vinden,
\begin{displaymath} \begin{array} {l} dx/dt=c\sqrt{1-(1+ax/c^2)^{-2}},\end{array}\end{displaymath} (8.31)

waarmee we x(t) bepalen (probeer dit na te gaan):
\begin{displaymath} \begin{array} {l} t=\frac{c}{a}\sqrt{(1+ax/c^2)^2-1}. \end{array}\end{displaymath} (8.32)

Voor t klein, geeft dit het niet-relativistische resultaat, $x={\scriptstyle{{1\over 2}}}at^2$. Uit verg. (8.31) zien we eenvoudig dat de snelheid, v=dx/dt, begrensd is door de lichtsnelheid, die voor $x\rightarrow\infty$ van onderen wordt benaderd. We kunnen constante versnelling ($d\vec p/dt=\vec F$, $d\vec F/dt=0$) ook bekijken vanuit een inertiaalstelsel, zoals voor de hand ligt bij een geladen deeltje in een electrisch veld, waarover later meer. We kiezen wederom de kracht in de x-richting en definiëren a=F/m. Nu geldt dw1 /dt=a, zodat $v\gamma(v)=at$, We bepalen hieruit weer de snelheid v=dx/dt,
\begin{displaymath} \begin{array} {l} dx/dt=at/\sqrt{1+a^2t^2/c^2},\end{array}\end{displaymath} (8.33)

zodat
\begin{displaymath} x=\frac{c^2}{a}\left(\sqrt{1+a^2t^2/c^2}-1\right).\end{displaymath} (8.34)

Wederom gaat men eenvoudig na dat voor t klein, het niet-relativistische resultaat (de parabool $x={\scriptstyle{{1\over 2}}}at^2$) volgt en dat de snelheid begrensd is door de lichtsnelheid. In beide gevallen geldt

[1+ax(t)/c2]2-[at/c]2=1. (8.35)

Dit is de baan van een hyperbool in het (x,t) vlak, met als asymptoot x(t)=c(t-c/a).

  • Volgende paragraaf
  • Naar inhoudsopave