8. Relativistische mechanica

De basisformule van de Newtonse mechanica, de relatie $\vec F=m\vec a$ , is niet invariant onder Lorentz transformaties. Dat betekent dat de Newtonse mechanica niet past in de Einsteinse relativiteitstheorie. Dit hebben we in hoofdstuk 4 expliciet laten zien door de transformatie van de versnelling te bestuderen. Zie ook de korte samenvattende conclusie aan het einde van hoofdstuk 5.

We gaan in dit hoofdstuk de basisbegrippen formuleren van een nieuwe mechanica, die aan de eisen van de speciale relativiteitstheorie voldoet, en die we daarom Einsteinse mechanica kunnen noemen. Zoals we al eerder opgemerkt hebben blijft de Newtonse mechanica bruikbaar als een zeer goede benadering voor een groot gebied van fysische verschijnselen, in feite voor de meeste verschijnselen van mechanische aard die we om ons heen kunnen waarnemen. Pas bij situaties waarbij extreem hoge snelheden optreden, zoals bijvoorbeeld in de deeltjesversnellers, die men voor experimenten in de elementaire deeltjesfysica gebruikt, moet de Newtonse mechanica vervangen worden door de nieuwe Einsteinse mechanica. (Om begrijpelijke redenen spreekt men vaak van niet-relativistische en relativistische mechanica. Strikt genomen is de aanduiding Newtonse en Einsteinse mechanica beter. Beide zijn namelijk relativistisch in de zin dat ze aan een bepaalde versie van het relativiteitsprincipe voldoen.)

We zullen ons in onze discussie beperken tot het geval van puntdeeltjes. In het tweede deel bespreken we ook de invloed van een electromagnetisch veld op geladen deeltjes. (We hebben gezien dat gelijktijdigheid van twee gebeurtenissen op verschillende plaatsen geen Lorentz invariant begrip is. Het idee van twee deeltjes die elkaar op afstand beïnvloeden door een instantane krachtswerking, hoort daarom niet thuis in het kader van de relativiteitstheorie. Wisselwerking door middel van gravitatiekrachten kan pas volledig bevredigend worden beschreven als men gebruik maakt van de algemene relativiteitstheorie, die door Einstein in 1912 is geintroduceerd, en die kan worden opgevat als een uitbreiding van zijn speciale relativiteitstheorie.)

De beweging van een puntdeeltje wordt beschreven door 3 functies van t, x₁(t), x₂(t) en x₃(t). Op ieder moment hoort daarbij een snelheids 3-vector $\vec v(t)$ met componenten v_j(t)=dx_j(t)/dt. De basisformule van de Newtonse mechanica,

$\begin{displaymath} \vec F=m\frac{d\vec v}{dt}\end{displaymath}$ (8.1)

zegt dat de verandering van deze snelheid evenredig is aan de kracht die op het deeltje wordt uitgeoefend. Voor het vinden van relativistische modificaties van niet-relativistische formules gaan we over naar een 4-dimensionale beschrijving. We proberen in het bijzonder om 3-vectoren te vervangen door Lorentz 4-vectoren. Van formules die met behulp van 4-vectoren geschreven zijn kunnen we direct zien hoe ze transformeren onder Lorentz transformaties.

We kijken naar de snelheid: We hebben de drie componenten v_j(t)=dx_j(t)/dt. Het ligt voor de hand om te proberen hiervan een 4-vector te maken door deze drie componenten aan te vullen met een component v₀(t)=dx₀(t)/dt. Omdat x₀(t)=ct betekent dat v₀(t)=c. Dus de vraag is of

$\begin{displaymath} \underline{v}= (c,v_1,v_2,v_3)\end{displaymath}$ (8.2)

een Lorentz 4-vector vormt. Dat dit niet het geval is zien we door op te merken dat $\underline{v}\cdot\underline{v}=c^2-v^2$ . Zoals gewoonlijk schrijven we $v=\vert\vec v\vert$ voor de lengte van de 3-snelheidsvector. Gebruiken we dat $c^2-v^2=c^2/\gamma^2(v)$ , dan zien we dat de 4-vector

$\begin{displaymath} \underline{w}\equiv\gamma(v)\underline{v}=\gamma(v)(c,v_1,v_2,v_3)\end{displaymath}$ (8.3)

wel een invariante ``lengte'' heeft,

$\begin{displaymath} \underline{w}\cdot\underline{w}=\gamma^2(v)\underline{v}\cdot\underline{v} =\gamma^2(v)(c^2-v^2)=c^2. \end{displaymath}$ (8.4)

Bedenk ook dat $\underline{x}$ een Lorentz 4-vector is, maar dat t niet invariant is onder Lorentz transformaties, zodat $d\underline{x}/dt$ nooit als een Lorentz 4-vector kan transformeren. Als nu $\tau$ de een willekeurige andere parameter is, waarin we de bewegingen van het deeltje beschrijven, $\underline{x}(\tau)=(ct(\tau),x_1(\tau),x_2(\tau),x_3(\tau))$ , dan geeft differentiatie naar $\tau$ wel een Lorentz 4-vector, immers men heeft voor een Lorentz transformatie L (gebruik dat $L_\mu{\!}^\alpha$ constant is)

$\begin{displaymath} \frac{dx_\mu^\prime(\tau)}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}\left(\sum_... ...um_{\alpha=0}^3 L_\mu{\!}^\alpha \frac{dx_\alpha(\tau)}{d\tau},\end{displaymath}$ (8.5)

en dit komt overeen met formule (7.18), die het transformatiegedrag van Lorentz 4-vectoren beschrijft. We nemen nu als parameter de in hoofdstuk 6 ingevoerde eigentijd. Met behulp van formule (6.13) vinden we

$\begin{displaymath} \frac{dx_\mu}{d\tau}=\frac{dx_\mu}{dt}\left(\frac{d\tau}{dt}\right)^{-1}= \gamma(v)v_\mu=w_\mu\end{displaymath}$ (8.6)

Dit betekent dat we te maken hebben met grootheden, die voor snelheden v die klein zijn ten opzichte van de lichtsnelheid c niet merkbaar verschillen van de componenten van $\vec v$ . De volgende definitie ligt daarom voor de hand:

De 4-snelheidsvector van een bewegend puntdeelje is een 4-vector w met de componenten $w_\mu=dx_\mu/d\tau=\gamma(v)dx_\mu/dt$ , met daarin $\tau$ de eigentijd langs de wereldlijn van het deeltje.

De 4-snelheid bevat natuurlijk maar 3 onafhankelijke componenten. Dat zien we bijvoorbeeld aan het feit dat de ``lengte'' van $\underline{w}$ gelijk aan c is.

De definitie van de snelheids 4-vector is nog een zuiver kinematische aangelegenheid, nl. de beschrijving van de beweging van een deeltje. We gaan nu een stapje nemen in de richting van een relativistische dynamica, door naast de 4-snelheid de impuls als 4-vector nader te bestuderen. Ook in de Newtonse mechanica speelt de impuls een belangrijke rol. De impulsvector $\vec p$ van een deeltje met snelheid $\vec v$ en massa m is gelijk aan $m\vec v$ . We definiëren in analogie hiermee een 4-vector:

De relativistische 4-impulsvector van een deeltje met massa m is de 4-vector $\underline{p}=m\underline{w}$ met componenten

$\begin{displaymath} \begin{array} {l} p_\mu=mw_\mu=m\gamma(v)dx_\mu/d\tau.\end{array}\end{displaymath}$ (8.7)

Als de snelheid v van het deeltje klein is ten opzichte van de lichtsnelheid c geldt natuurlijk dat de $\mu=1,2,3$ componenten van deze relativistische 4-impuls $\underline{p}$ experimenteel niet te onderscheiden zijn van de componenten van de niet-relativistische impuls $\vec p$ . We kunnen dit expliciet maken door de factor $\gamma(v)$ naar ordes v²/c² te ontwikkelen volgens

$\begin{displaymath} \gamma(v)=(1-v^2/c^2)^{-{\scriptstyle{{1\over 2}}}}=1+{\scri... ...\over 2}}}v^2/c^2+{\scriptstyle{3\over 8}} (v^2/c^2)^2+\cdots .\end{displaymath}$ (8.8)

Voor de $\mu=i=1,2,3$ componenten van p geeft dit

$\begin{displaymath} p_i=mv_i+{\scriptstyle{{1\over 2}}}m v_i v^2/c^2+\cdots .\end{displaymath}$ (8.9)

De nulde orde term is de niet-relativistische impuls, de hogere orde termen zijn correcties daarop.

De impuls is een belangrijk begrip in de Newtonse mechanica. Dat komt vooral omdat het onder geschikte omstandigheden een behouden grootheid is. Van een veeldeeltjes-systeem, dat geen uitwendige krachten ondervindt, zijn de drie componenten van de totale impuls constant in de tijd. In botsingsprocessen is de totale impuls vóór de botsing gelijk aan de totale impuls ná de botsing: Als we de deeltjes nummeren met de index k, de massa's aangeven met m(k), de grootheden vóór de botsing aangeven als $\vec v(k)$ , $\vec p(k)$ , en ná de botsing als $\vec v{\,}'(k)$ , $\vec p{\,}'(k)$ , betekent dit

$\begin{displaymath} \sum_k\vec p(k)=\sum_k\vec p{\,}'(k),\end{displaymath}$ (8.10)

of uitgeschreven

$\begin{displaymath} \sum_km(k)\vec v(k)=\sum_km(k)\vec v{\,}'(k).\end{displaymath}$ (8.11)

De wet van het behoud van impuls kan afgeleid worden uit de bewegingsvergelijkingen van Newton; het is een belangrijke dynamische eigenschap van niet-relativistische systemen.

We nemen aan dat er iets soortgelijks geldt voor het relativistische geval:

We veronderstellen dat in de relativistische mechanica de j = 1,2,3 componenten van de 4-impuls $\underline{p}$ , zoals gedefiniëerd in (8.7), onder geschikte omstandigheden behouden grootheden zijn.

Voor een botsingsproces betekent dat

$\begin{displaymath} \sum_{k} p_j(k)=\sum_k p_j^\prime(k),\end{displaymath}$ (8.12)

of anders geschreven

$\begin{displaymath} \sum_km(k)\gamma(v(k))\vec v(k)=\sum_km(k)\gamma(v'(k)) \vec v{\,}'(k).\end{displaymath}$ (8.13)

Het is experimenteel gebleken, dat formule (8.11) niet meer geldig is bij botsingsprocessen waarbij de deelnemende deeltjes zeer hoge snelheden hebben. In plaats daarvan vindt men dat bij zulke processen voldaan wordt aan de zojuist geformuleerde relativistische behoudswet. Formule (8.13) beschrijft dus een belangrijke dynamische eigenschap van relativistische systemen.

De 4-impulsvector $\underline{p}$ heeft vier componenten. We hebben er tot dusver maar drie besproken. Wat is de fysische betekenis van de vierde component p₀? Daartoe ontwikkelen we cp₀ naar v²/c² met behulp van (8.8). Dat geeft

$\begin{displaymath} \begin{array} {l} cp_0=mc\gamma(v)dx_0/dt=mc^2\gamma(v)\\ \h... ...r 2}}}mv^2+{\scriptstyle{3\over 8}}mv^4/c^2+\cdots .\end{array}\end{displaym ath}$ (8.14)

Afgezien van een constante term mc², die alleen afhangt van de massa, dus van het soort deeltje, vinden we de niet-relativistische (kinetische) energie van het deeltje ${\scriptstyle{{1\over 2}}}m v^2$ , en tenslotte termen van hogere orde in v²/c², die we als relativistische correctietermen kunnen opvatten. Dit maakt aannemelijk dat we cp₀ de relativistische (kinetische) energie noemen:

De energie van een vrij bewegend puntdeeltje is volgens de relativiteitstheorie gelijk aan cp₀, met p₀ de vierde component van de relativistische 4-impulsvector $\underline{p}$ .

Bij een botsingproces van deeltjes met hoge snelheden is het deze grootheid die behouden is, zoals uit vele experimenten is gebleken. Er geldt dus

$\begin{displaymath} \sum_km(k)c\gamma(v(k))=\sum_km(k)c\gamma(v'(k))\end{displaymath}$ (8.15)

en niet

$\begin{displaymath} \sum_k{\scriptstyle{{1\over 2}}}m(k)(v(k))^2=\sum_k{\scriptstyle{{1\over 2}}}m(k)(v'(k))^2.\end{displaymath}$ (8.16)

Opmerking: In de relativiteitstheorie zijn impuls en energie nauw met elkaar verbonden: er is één 4-vectorgrootheid, de energie-impuls 4-vector. Deze is uit de vier afzonderlijke grootheden opgebouwd. Het onderscheid tussen wat energie is en wat impuls hangt van de bewegingstoestand van de waarnemer af, net als bij het onderscheid tussen tijd en ruimte in de Minkowski ruimte.

Aan het eind van het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat voor een foton $E=h\nu$ en $p=\vert\vec p\vert=h/\lambda$ . Hieruit leiden we eenvoudig af dat

E=p c. (8.17)

We kunnen dan verwachten dat begrippen als energie en impuls enige aanpassing behoeven, omdat volgens de Newtonse mechanica kinetische energie van een massief deeltje gegeven wordt door $E_{kin}={\scriptstyle{{1\over 2}}}p v$ . De vraag is echter of we aan een foton wel een massa kunnen toekennen. De massa wordt voor een gewoon deeltje gedefinieerd door de wet van Newton, die uitspraken doet over de toename van de snelheid met de werking van een kracht. Bij een foton zal de snelheid altijd die van het licht zijn. Zonder toename van snelheid geen massa. Anderzijds kan massa ook bepaald worden door energieverlies in een gravitatieveld en als een foton een energie heeft zou er geen reden zijn om geen energieverlies te ondergaan. Een deel van de afbuiging van het licht van een ster aan de zon bij een zonsverduistering (een andere belangrijke test van de algemene relativiteitstheorie) kan aldus verklaard worden. Inderdaad hebben we bij het transversaal Doppler-effect gezien dat er ook een gravitationeel Doppler-effect is waarbij de frequentie van licht dat uit een gravitationele put moet klimmen afneemt, zodanig dat ook de energie afneemt, immers $E=h\nu$ .

Als er één natuurkundige wet is die iedere leek kent, dan is het wel de beroemde wet van equivalentie tussen massa en energie

E=mc². (8.18)

Er is een eenvoudig gedachtenexperiment waarmee Einstein deze equivalentie aantoonde, zoals in de figuur weergegeven. Er wordt een foton verzonden aan de linker kant van een doos, dat aan de rechter kant wordt geabsorbeerd. Door de terugstoot van het uitgezonden foton, dat een impuls $E/c=\hbar\omega/c$ heeft, krijgt de doos een kleine snelheid naar links, bepaald door de eis dat impuls behouden blijft, dus v=-E/(cM). Hierin is M de massa van de doos en we mogen gevoeglijk aannemen dat v te verwaarlozen is t.o.v. de lichtsnelheid. Op het moment dat het foton wordt geabsorbeerd, wordt de terugstoot weer teniet gedaan en komt de doos tot stilstand. Intussen heeft de doos zich echter wel over een afstand x=vt=vL/c verplaatst, waarbij L de lengte van de doos is. Dus de doos heeft zich over een afstand x=-EL/(Mc²) verplaatst, maar omdat op de doos geen uitwendige krachten werken moet het zwaartepunt van de doos op zijn plaats blijven. Het foton is van links naar rechts gegaan, en heeft in ieder geval energie getransporteerd. Voor een kogel zou er ook massa verplaatst zijn. Kennelijk moeten we aan een foton ook een trage massa toekennen, die er voor zorgt dat het zwaartepunt op zijn plaats blijft. Als we de massa van het foton m noemen dan is de verplaatsing van het zwaartepunt mL+Mx. Uit de eis dat het zwaartepunt op zijn plaats moet blijven volgt mL+Mx=0, en we vinden m=E/c². (Er is een betere variant van dit gedachtenexperiment.)

Omgekeerd correspondeert massa met energie, en is dus de conclusie dat zelfs een deeltje in rust een energie heeft. Omdat c zo groot is, is die energie gigantisch en ligt E=mc² aan de basis van het verkrijgen van energie uit kernreacties, zowel bij fusie als bij splijting. Anderzijds, als we een deeltje een snelheid v geven neemt zijn energie toe. Naast de rustenergie mc² komt er de kinetische energie bij, $E=mc^2+{\scriptstyle{{1\over 2}}}m v^2$ . Deze energie vertegenwoordigt op zijn beurt een massa $m(v)=(1+{\scriptstyle{{1\over 2}}}v^2/c^2)m$ . We hebben al eerder gezien dat de Newtonse wetten alleen geldig zijn bij kleine snelheden, zodat we verwachten dat de formule voor m(v) alleen geldig is voor snelheden klein t.o.v. de lichtsnelheid. Tot in laagste orde komt bovenstaande resultaat overeen met $m(v)=\gamma(v)m$ . Deze formule is juist daarom acceptabel omdat het verklaart waarom een deeltje niet sneller dan de lichtsnelheid kan gaan. De trage massa m(v) wordt steeds groter met toenemende snelheid en gaat bij nadering van de lichtsnelheid naar oneindig, zodanig dat een versnelling alleen nog maar ten goede komt aan de toenemende massa m(v) maar niet meer aan een toenemende snelheid.

Een eenvoudig bewijs van deze formule voor m(v) kan gegeven worden door gebruik te maken van het feit dat de impuls en de energie behouden moet blijven bij een botsing. Men heeft wel eens geprobeerd deze behoudswetten omver te werpen. Vooral bij het beta (of radioactieve) verval zat men lange tijd met het probleem dat impuls- en energiebehoud met elkaar in tegenspraak waren, tot dat Pauli op het idee kwam dat dit wel eens zou kunnen komen doordat men blind was voor een extra deeltje dat bij het vervalsproces betrokken was, namelijk het neutrino. Dit heeft zulke zwakke interacties met andere materie (het heeft geen electrische lading en mogelijk geen rustmassa, in welk geval het zich altijd met de lichtsnelheid voortbeweegt), dat we het niet zien. Er is een belangrijke reden om behoud van energie en impuls als onschendbare wetten te beschouwen. Ze zijn een consequentie van het feit dat ruimte en tijd homogeen zijn. We nemen aan dat de natuurwetten invariant zijn onder translatie in ruimte en tijd. (Evenzo volgt uit de isotropie van de ruimte, oftewel de invariantie onder een draaiing, dat het impulsmoment behouden moet zijn.) We bekijken nu de botsing van twee identieke deeltjes met massa m en exact tegengestelde snelheden w. De deeltjes zijn voorzien van zeer sterke kleefpasta, zodanig dat ze niet meer los van elkaar kunnen komen en dus na de botsing als één deeltje stil blijven liggen. Immers de totale impuls voor de botsing was nul. We nemen aan dat er geen wrijving is opgetreden en dat bij het aan elkaar kleven geen warmte wordt geproduceerd. We gaan nu over van het zwaartepuntstelsel naar het ruststelsel van één van de twee deeltjes (zie de figuur).

Klassiek zou het andere deeltje nu een snelheid 2w hebben, maar uit het relativistisch optellen van de snelheden volgt dat in dit nieuwe stelsel het andere deeltje beweegt met een snelheid

v=2w/(1+w²/c²). (8.19)

We noemen de nader te bepalen massa m(v). Na de botsing hebben de twee samenklittende deeltjes een snelheid w en een massa M(w) (immers het zwaartepuntstelsel heeft een snelheid w t.o.v. het nieuwe stelsel). Uit behoud van energie en impuls volgt

$\begin{displaymath} m(v)c^2+mc^2=M(w)c^2,\quad m(v)v=M(w)w.\end{displaymath}$ (8.20)

Uit deze twee vergelijkingen kunnen we M(w) elimineren, waartoe we de vergelijking voor energiebehoud met w/c² vermenigvuldigen, (m+m(v))w= M(w)w. Dit substituren in de vergelijking voor impulsbehoud geeft dus (m(v)+m)w=m(v)v.

Samen met v=2w/(1+w²/c²) volgt dus (ga na!)

$\begin{displaymath} m(v)=m\frac{(1+w^2/c^2)}{(1-w^2/c^2)}=\gamma(v)m.\end{displaymath}$ (8.21)

Hoewel we dit resultaat hebben verkregen zonder te bepalen wat M(w) in werkelijkheid is, is het toch interessant deze te berekenen.

Opgave 21:

Laat zien dat M(w)=m(v)v/w=2m/(1-w²/c²) en dat $M=2\gamma(w)m$ in het zwaartepuntstelsel. Verklaar kwalitatief en kwantitatief de reden voor het verschil tussen M en 2m.

We hebben nu gezien dat E=m(v)c² en $\vec p=m(v)\vec v$ en dat we deze grootheden kunnen combineren in een 4-vector, genoemd de 4-impuls $\underline{p}=(E/c,p_1,p_2,p_3)$ , die zich onder Lorentz transformaties op de juiste manier gedraagt. Dit in analogie met de situatie voor het foton. De ``lengte'' van deze tijdachtige 4-vector is precies de rustmassa maal de lichtsnelheid, een resultaat dat onafhankelijk is van het stelsel (dus van de snelheid v). Het stelsel waarin de ruimtelijke componenten verdwijnen is precies het lokale inertiaalstelsel, dat ook gedefinieerd is in aanwezigheid van gravitatiekrachten.

Opgave 22:

Laat zien dat $\underline{p}\cdot\underline{p}=p_\mu p^\mu=m^2c^2$ en dat voor een foton ( $\underline{p}=\hbar\underline{k}$ ) dit leidt tot de uitspraak dat het geen rustmassa bezit.

Opmerking: We kunnen de relativistische energie E uitdrukken in de j=1,2,3 componenten van de 4-impuls. We gebruiken hiervoor het resultaat uit opgave 22. Met $p\equiv\vert\vec p\vert$ lossen we E op uit $m^2c^2= \underline{p}\cdot\underline{p}=E^2/c^2-p^2$ . Dit geeft de relativistische energie-impuls relatie

$\begin{displaymath} E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}.\end{displaymath}$ (8.22)

Een belangrijke eigenschap van het boven ingevoerde energiebegrip is de aanwezigheid van de constante term mc² in de uitdrukking van de energie van een vrij deeltje: zoals we eerder zagen betekent het dat er ook een energie wordt toegekend aan een deeltje dat in rust is. Omdat het hier om een constante gaat die alleen van het soort deeltje afhangt, zou men kunnen denken dat men deze rustenergie ook wel weg zou kunnen laten. Dit is niet het geval. Integendeel, de extra term heeft te maken met een zeer belangrijk fysische aspect van de relativiteitstheorie dat nog niet ter sprake gekomen is. Bij het spreken over botsingsprocessen hebben we tot nog toe stilzwijgend aangenomen dat het om elastische processen ging, d.w.z. om processen waarbij men voor en na de botsing de zelfde deeltjes heeft, alleen met andere snelheden en zich in andere richtingen bewegend. In die situatie kan men in formule (8.15), de behoudswet voor de relativistische energie in een botsingsproces, de rustenergietermen van de linkerkant en van de rechterkant aftrekken, zonder dat de geldigheid van de formule wordt aangetast.

In de kernfysica en in de elementaire deeltjesfysica kent men ook niet-elastische processen waarbij ingaande en uitkomende deeltjes verschillend zijn; er heeft creatie en annihilatie van deeltjes plaats. Denk bijvoorbeeld aan een geval waarbij er twee deeltjes a en b ingaan, en er tengevolge van wisselweking tijdens de botsing drie andere deeltjes A, B en C uitkomen. Dit is typisch een situatie waarbij de relativiteitstheorie gebruikt moet worden. Er is behoud van energie in de relativistische zin, d.w.z. er geldt

$\begin{displaymath} \begin{array} {l} m(a)\gamma(v(a))c^2+m(b)\gamma(v(b))c^2=\\... ...a(v(A))c^2+ m(B)\gamma(v(B))c^2+m(C)\gamma(v(C))c^2.\end{array}\end{displaymath}$ (8.23)

Als we in deze formule de termen voor de rustenergie van linker en rechterlid aftrekken, geldt het gelijkteken in het algemeen niet meer. Dat betekent dat in dit geval de rustenergie essentiëel is voor de geldigheid van het principe van energiebehoud.

We kunnen dit ook nog een beetje anders zien: In een proces zoals beschreven in (8.23) is het mogelijk dat de totale massa verandert; m(a)+m(b) hoeft niet gelijk te zijn aan m(A)+m(B)+m(C). Wat het zelfde blijft is de totale energie; de massa maakt daar deel van uit. Dat er inderdaad fysische processen mogelijk zijn, waarbij daadwerkelijk massa in energie en energie in massa kan worden omgezet, is pas vele jaren na het formuleren van de speciale relativiteitstheorie, bij het tot ontwikkeling komen van de kernfysica en later de elementaire deeltjesfysica, duidelijk geworden.

We vatten dit belangrijke aspect van de relativiteitstheorie kort samen:

Volgens de speciale relativiteitstheorie is massa een vorm van energie. Massa en energie kunnen in principe in elkaar overgevoerd worden volgens de relatie E=mc². De kernfysica en de elementaire deeltjesfysica hebben dat ook daadwerkelijk mogelijk gemaakt.

Opmerking: Men gebruikt soms twee massabegrippen naast elkaar, nl. een rustmassa die men aangeeft als m₀, en die overeenkomt met wat wij de massa m hebben genoemd, en een massa m gedefiniëerd als $m=\gamma(v)m_0$ die wij m(v) hebben genoemd. In dat geval kan men zeggen dat de massa van een deeltje afhangt van zijn snelheid.

We hebben in dit hoofdstuk enkele grondbegrippen van de relativistische mechanica ingevoerd aan de hand van behoudswetten voor energie en impuls. Voor een deeltje, dat zich in een electromagnetisch veld beweegt, is het mogelijk om verder te gaan. Men kan in dat geval een 4-dimensionale generalisatie geven van de formule $\vec F=m(d\vec v/dt)$ , de basisformule van de Newtonse mechanica. Hierbij voert men een 4-dimensionale versie van het begrip kracht in. We zullen er in het volgende hoofdstuk enkele opmerkingen over maken. We geven een overzicht van de belangrijkste resultaten:

De relativistische energie en impuls van een deeltje met massa m worden beschreven door één Lorentz 4-vector $\underline{p}$ . Er geldt: $\underline{p}\cdot\underline{p}=m^2c^2.$
De componenten van $\underline{p}$ zijn: $p_\mu=mw_\mu=mdx_\mu/d\tau= m\gamma(v)dx_\mu/dt.$
Voor snelheden v die veel kleiner zijn dan de lichtsnelheid c kunnen we naar v²/c² ontwikkelen: $p_0=m\gamma(v)c=c^{-1}(mc^2+ {\scriptstyle{{1\over 2}}}mv^2+\cdots),\quad p_i=m\gamma(v)v_i=mv_i+\cdots .$
De energie van het deeltje kan worden uitgedrukt in $\vec p$ volgens: $E=p_0c=c\sqrt{m^2c^2+\vec p\cdot\vec p}$ .

Volgende paragraaf

Naar inhoudsopave