In de 3-dimensionale ruimte kennen we het begrip vector. Een vector is iets
wat niet alleen een grootte heeft maar ook een richting. Een vector wordt dus beschreven door drie getallen, de drie componenten ax, ay,
az van de vector in de richting van de drie coördinaatassen van een
rechthoekig of Cartesisch ruimtelijk coördinaatsysteem
met coördinaten x, y en z.
Bij overgang van één Cartesisch coördinaatsysteem C, met coördinaten
x, y, en z, naar een tweede systeem C', met x', y' en z',
veranderen de componenten van een vector op de dezelfde wijze als de
ruimtelijke coördinaten. Stel bijvoorbeeld dat we overgaan naar een stelsel
C' dat ten opzichte van C gedraaid is over een hoek rond de z-as.
De coördinaten transformeren dan volgens
![]() |
(7.1) |
De componenten van een vector veranderen dan op dezelfde manier, nl.
als
![]() |
(7.2) |
Een vector heeft een lengte, die we soms als a of
aangeven, en die gedefiniëerd is als
![]() |
(7.3) |
De lengte van een vector is in ieder Cartesisch coördinaatstelsel het
zelfde; voor een draaiing zoals weergegeven in de formules (7.1) en (7.2)
kunnen we dat eenvoudig verifiëren. Voor twee vectoren en
is er een inwendig product, dat we aangeven als
, en dat
gedefiniëerd is als
![]() |
(7.4) |
Het inwendig product, dat iets zegt over de lengte van beide vectoren en
hun onderlinge hoek, is ook onafhankelijk van het gekozen Cartesisch
coördinaatsysteem. Er geldt natuurlijk
![]() |
(7.5) |
In de niet-relativistische fysica komen veel vectorgrootheden voor; het gebruik van de bijbehorende vectornotatie maakt het mogelijk allerlei eigenschappen en relaties compact te formuleren. In de mechanica hebben we als vectoren behalve de snelheid natuurlijk ook versnelling, impuls en kracht. De plaats van een deeltje is een vector als we coördinaatstelsels met de zelfde oorsprong bekijken. In de theorie van het electromagnetisme hebben we onder meer de electrische veldsterkte.
Opmerking: Behalve vectoren zijn er ook pseudo-vectoren. Hierbij komt er een extra minteken voor de componenten als we naar een gespiegeld coördinatenstelsel overgaan, bijvoorbeeld x'=-x, y'=-y, z'=-z, of x'=-x, y'=y, z'=z. In de mechanica is het impulsmoment van een deeltje ten opzichte van een vaste oorsprong een pseudo-vector; in het electromagnetisme hebben we de magnetische veldsterkte als pseudo-vector. In dit inleidend college zullen we ruimtespiegelingen buiten beschouwing laten. We hoeven dan geen onderscheid te maken tussen vectoren en pseudo-vectoren, en mogen het impulsmoment en de magnetische veldsterkte als vectoren opvatten.
De tot nu toe gebruikte aanduiding voor de drie assen van rechthoekige
ruimtelijke coördinaatstelsels en voor de daarbij behorende componenten van
vectoren is niet erg handig, als we maximaal willen profiteren van de
mogelijkheden tot compacte formuleringen, die het vectorbegrip ons biedt.
Dit is vooral duidelijk bij formules waarin er over componenten gesommeerd
moet worden. We zullen daarom van nu af rechthoekige ruimtelijke
coördinaten niet meer aangeven als x, y en z, maar als x1, x2 en
x3. Deze coördinaten horen dus bij de x1-, x2- en x3-as. De
componenten van een vector zullen we a1, a2 en a3 noemen.
We kunnen dan de lengte van een vector
en het inwendig product van
een vector
met een vector
met behulp van sommatietekens
wat korter schrijven als
![]() |
(7.6) |
De formules die de relaties tussen twee Cartesische coördinaatsystemen
beschrijven worden matrixformules. Zo schrijven we (7.1) en (7.2) als
![]() |
(7.7) |
en
![]() |
(7.8) |
waarbij de Dij de elementen zijn van de 3 X 3 matrix
![]() |
(7.9) |
Een draaiing over een willekeurige hoek en om een willekeurige as - dus niet
noodzakelijk één der coördinaatassen - kan op deze manier met behulp van
een geschikte
3 X 3 matrix worden beschreven. Onder zo'n draaiing blijft
de lengte van de coördinaatvector onveranderd, d.w.z. er geldt
![]() |
(7.10) |
Omgekeerd kan men nagaan dat iedere lineaire transformatie x1, x2, x3
x1', x2', x3', die deze eigenschap heeft een draaiing
is, of een draaiing gevolgd door een spiegeling. Men noemt zo'n transformatie
wel een orthogonale transformatie, en de
3 X 3 matrix Dij,
die er volgens formule (7.7) bijhoort, een orthogonale matrix.
Opmerkingen:
Eén van de leidende ideeën van de relativiteitstheorie is dat
gebeurtenissen beschreven kunnen worden als punten van een 4-dimensionale
ruimte, de ruimte-tijd. We gaan daarom in deze 4-dimensionale ruimte een
aantal begrippen invoeren, die analoog zijn aan begrippen die we kennen van
de gewone 3-dimensionale ruimte, en die we in het voorafgaande kort hebben
samengevat. De voordelen zullen de zelfde zijn: compacte schrijfwijze van
belangrijke relaties en formules. We beginnen ook hier met een betere
notatie. We gebruiken natuurlijk x1, x2 en x3 in plaats van x, y
en z voor de ruimtelijke coördinaten van een gebeurtenis. Als vierde
coördinaat nemen we niet de tijd t zelf, maar t vermenigvuldigd met de
constante lichtsnelheid c. Deze vierde coördinaat noemen we x0, dus
x0=ct. Het voordeel van deze keuze is dat de vier coördinaten op deze
manier de zelfde dimensie hebben, nl. de dimensie van een lengte. We
schrijven dan voor een punt in de 4-dimensionale ruimte
![]() |
(7.11) |
Let daarbij op de volgorde die we gekozen hebben. Merk ook op dat de
schrijfwijze , die we om practische redenen in dit college
zullen gebruiken, géén standaardnotatie is. Meestal schrijft men
voor het viertal gewoon x, maar dat hadden we hier al gebruikt voor de
lengte van
. Een andere gewoonte is de vier coördinaten aan te
geven als
(of als
), waar bij de griekse index wordt
geacht de waarden 0,1,2 en 3 aan te nemen, terwijl latijnse indices geacht
worden de waarden 1,2 en 3 aan te nemen (dus alleen voor ruimtelijke
componenten).
De nieuwe manier om ruimte-tijd coördinaten aan te geven maakt het mogelijk
de Lorentz transformaties, die optreden als we van een gegeven
inertiaalsysteem S overgaan naar een ander inertaalsysteem S', in een
compacte matrixvorm te schrijven, net zo als we dat hier boven met de
orthogonale transformaties in de Cartesische ruimte hebben gedaan. De
standaard Lorentz transformatie in de x1-richting van formule (4.37) wordt
dan
![]() |
(7.12) |
met daarin de
4 X 4 matrix gegeven als
![]() |
(7.13) |
Let op de gevolgen van het feit dat we de tijdcoördinaat x0=ct voorop gezet hebben. Ook hebben we bij het aangeven van de indices van de matrix L1 de rechter index boven gezet. Dit is niets meer dan een notatie kwestie. We zullen verderop uitleggen waarvoor dit handig is.
Op dezelfde manier schrijven we ook de standaard Lorentz transformaties in de
x2 en x3 richting van formules (4.39) en (4.40) met matrices
en
, die we uit deze formules
kunnen aflezen, en die gelijk zijn aan
![]() |
(7.14) |
![]() |
(7.15) |
Ook algemene Lorentz transformaties zoals besproken in Hoofdstuk 5 kunnen op deze manier worden geschreven met behulp van een 4 X 4 matrix L.
Merk op dat de inverse van een Lorentz transformatie met matrix L door de
inverse matrix L-1 wordt beschreven. Als we met behulp van de matrix
L' van één inertiaalsysteem S naar een tweede inertiaalsysteem S'
overgaan, en vervolgens met de matrix L naar een derde systeem S'',
kunnen we het totale resultaat beschrijven met de matrix LL', het
matrixproduct van L en L', met matrixelementen
![]() |
(7.16) |
We definiëren nu algemeen een Lorentz 4-vector als een grootheid met 4
componenten die bij de overgang naar een ander inertiaalsysteem op dezelfde
manier transformeren als de ruimte-tijd coördinaten x0, x1, x2 en
x3. (Merk even op dat we toch maar ruimte-tijd blijven zeggen, ondanks de
volgorde van x0, x1, x2, x3.) We zullen zulke 4-vectoren aangeven
als ,
,
, met
,
,
, etc. Bij een
transformatie van de ruimte-tijd coördinaten
volgens
![]() |
(7.17) |
hoort dus een transformatie van de componenten volgens
![]() |
(7.18) |
Als we ons beperken tot inertiaalsystemen die de zelfde oorsprong hebben, kunnen we de ruimte-tijd coördinaten van een gebeurtenis zelf ook opvatten als de componenten van een Lorentz 4-vector; in het algemenere geval vormen de verschillen van de coördinaten van twee gebeurtenissen een 4-vector.
We definiëren het inwendig product van twee 4-vectoren
en
als
![]() |
(7.19) |
Dit inwendig product is verschillend van het 3-dimensionale inwendig
product in (7.6). Dit laatste is positief definiet: is
groter of gelijk aan nul; uit
volgt bovendien
. Vanwege het minteken in (7.18) is dit niet meer het geval voor het
4-dimensionale inwendige product.
Het inwendig product in de ruimte-tijd is indefiniet:
![]() ![]() ![]() |
---|
We laten nu zien waarom men voor Lorentz 4-vectoren dit inwendig product
heeft gekozen, en niet een definiet positief inwendig product met alleen
plustekens. Bekijk het inwendig product van de ruimte-tijd 4-vector
met zich zelf. Dit is gelijk aan
![]() |
(7.20) |
Dit is niets anders dan de fundamentele kwadratische vorm, die we in het begin van hoofdstuk 5 hebben ingevoerd, en verder in hoofdstuk 6 hebben gebruikt om allerlei belangrijke fysische eigenschappen van de ruimte-tijd te karakteriseren. Deze kwadratische vorm was invariant onder standaard Lorentz transformaties. Dit hing direct samen met het belangrijke fysisch gegeven dat de lichtsnelheid het zelfde was in alle inertiaalsystemen. We hebben in hoofdstuk 5 de invariantie van de kwadratische vorm in feite gebruikt om algemene Lorentz transformaties mee te definiëren.
Uit de invariantie van kan men gemakkelijk
afleiden dat ook
, het inwendig product van
twee ruimte-tijd 4-vectoren
en
, invariant is onder Lorentz transformaties.
Bekijk daartoe de inwendige producten van
en
met zich zelf. Beide zijn natuurlijk Lorentz
invariant. Met de bilineariteit van het inwendig product schrijven we
![]() |
(7.21) |
en dus
![]() |
(7.22) |
Daaruit volgt dat Lorentz invariant is voor
willekeurige
en
. Voor de componenten van de
ruimte-tijd 4-vectoren
en
kunnen we 8
willekeurige getallen nemen. Voor twee Lorentz 4-vectoren
en
kunnen we dat ook doen. Beide stellen van 8 getallen
transformeren op de zelfde manier als we met een Lorentz transformatie naar
een ander inertiaalsysteem overgaan. Daaruit kunnen we een belangrijke
conclusie trekken:
Het inwendig product ![]() ![]() ![]() |
---|
De 4-dimensionale ruimte-tijd voorzien van het inwendig product
![]() |
(7.23) |
en de daar bij behorende kwadratische vorm
![]() |
(7.24) |
wordt wel Minkowski-ruimte genoemd.
We merken nog op dat het invariante inwendige procuct (kortweg ook wel
inproduct genoemd) van twee 4-vector en
gegeven wordt door
![]() |
(7.25) |
indien we de notatie van een bovenindex hebben ingevoerd,
![]() |
(7.26) |
Bij het vormen van een inwendig product sommeert men dus over de componenten van de twee 4-vectoren, waarbij de ene 4-vector de index boven en de andere de index beneden heeft (vergelijk de notatie voor de 4 X 4 matrix L behorende bij een Lorentz transformatie). Zo'n sommatie komt zo vaak voor dat ik U niet wil onthouden wat Einstein wel gekscherend zijn belangrijkste ontdekking heeft genoemd, namelijk de sommatieconventie.
De sommatieconventie: over twee gelijke indices, waarvan een boven en een onder, wordt automatisch gesommeerd. |
---|
Dit voorkomt veel schrijfwerk en het verdient de voorkeur
in de paar gevallen dat sommatie niet plaats dient te vinden, dit expliciet
te vermelden.
In het geval van de 3-dimensionale Cartesische ruimte is de lengte van een
vector gelijk aan de wortel van het inwendig product van die vector
met zich zelf. Voor een Lorentz 4-vector
kan het inwendig
product negatief zijn. In dat geval moet men de ``lengte'' van
zorgvuldiger definiëren. In aansluiting op wat we in hoofdstuk 6 besproken
hebben, onderscheiden we de volgende gevallen:
Tijdachtige en lichtachtige 4-vectoren hebben dus een ``lengte''
, maar voor
ruimteachtige 4-vectoren moeten we kennelijk
definiëren.
Omdat
en het teken van dit inwendig product
onafhankelijk is van het stelsel waarin we het bepalen - het is invariant
onder Lorentz transformaties - is voor een ruimteachtige 4-vector aldus de
lengte welgedefiniëerd.
Een lichtachtige vector volgt altijd een lichtstraal. Het is een fundamenteel
uitgangspunt van de relativiteitstheorie dat dit in ieder stelsel het geval
is (het lichtpostulaat). Even fundamenteel is dat voor een tijdachtige vector
er altijd een inertiaalstelsel te vinden is waarvoor de ruimtelijke
componenten van de 4-vector gelijk aan nul zijn. Evenzo kan voor een
ruimteachtige vector altijd een stelsel gevonden worden
waarvoor de tijdscomponent gelijk aan nul is. In zo'n stelsel kan men met
recht over de lengte van de vector spreken (
), die dus in een
willekeurig stelsel gedefinieerd kan worden door
.
Uit de bespreking van het Doppler-effect is eenvoudig af te
leiden dat we met golfvector en cirkelfrequentie een 4-vector kunnen
samenstellen. Transformatie regels werden afgeleid door te eisen dat
onveranderd blijft onder een Lorentz
transformatie.
Hiermee hebben we dus naast het voorbeeld van de punten in de ruimte-tijd
een ander expliciet voorbeeld van een Lorentz 4-vector. De golf-4-vector
speelt een belangrijke rol, omdat uit vele experimenten, al voor de
formulering van de relativiteitstheorie, bekend was dat licht naast een
golfkarakter ook een deeltjeskarakter heeft. Het bijbehorende deeltje werd
een foton genoemd. Hoewel het niet tot stilstaan gebracht kan worden (immers
de lichtsnelheid is in ieder stelsel gelijk aan c), manifesteert het zich
wel als een deeltje met een energie en een impuls
. Impuls is hoeveelheid beweging, en voor een deeltje
met massa m wordt het gegeven door
. In het volgende
hoofdstuk zullen we dit uitvoerig bespreken. Verder is
en
h de constante van Planck, h=6,626 X 10-34kg m2/s. Deze had h ingevoerd om tot een correcte
beschrijving van de thermische straling te komen. Einstein heeft h in zijn
bestudering van het fotoelectrische effect geïnterpreteerd als de
constante die nodig is om te verklaren dat licht dat op een kathode valt
slechts electronen met een heel bepaalde energie (
) vrijmaakt.
Het was hiervoor, en niet voor de relativiteitstheorie, dat Einstein in
1922 de Nobelprijs kreeg. De stralingsdruk kon nu gezien worden als de
impulsoverdracht door deze lichtdeeltjes (een lichtbundel kan gezien worden
als een stroom van lichtdeeltjes). Deze impuls is precies
(in grootte dus gelijk aan
).
Om de overeenkomsten en de verschillen tussen de gebruikelijke 3-vectoren
en de in dit hoofdstuk ingevoerde Lorentz 4-vectoren goed te begrijpen
geven we nog een overzicht.
Overzicht:
In de 3-dimensionale ruimte gebruiken we Cartesische coördinaatstelsels. | In de 4-dimensionale ruimte-tijd gebruiken we inertiaalstelsels. | |||
Alle Cartesische coördinaatsystemen zijn equivalent wat hun fysische betekenis betreft (isotropie van de ruimte). | Alle inertiaalsystemen zijn fysisch equivalent (het relativiteitsprincipe). | |||
Ze zijn onderling verbonden door orthogonale transformaties (draaiingen en spiegelingen). | Ze zijn onderling verbonden door Lorentz transformaties. | |||
Er is een positief definiet inwendig product, waar mee de lengte van een vector gedefiniëerd kan worden. | Er is een indefiniet inwendig product, dat voor tijdachtige en ruimteachtige 4-vetoren een ``lengte'' definiëert. | |||
Het inwendig product en de daarvan afgeleide lengte zijn invariant onder orthogonale transformaties. | Het inwendig product en de daarvan eventueel afgeleide ``lengte'' zijn invariant onder Lorentz transformaties. |