4.2 Andere parametrisering van standaard Lorentz transformaties

Als we een aantal Lorentz transformaties met verschillende snelheden in dezelfde richting achter elkaar uitvoeren is het totale resultaat weer een Lorentz transformatie. We kunnen de snelheid als parameter voor zulke transformaties gebruiken. Deze snelheden tellen echter niet op, zo als we gezien hebben. Het is daarom soms handig om een andere parameter in te voeren die wel additief is. We bekijken standaard Lorentz transformaties in de x-richting zoals gegeven door formules (4.37) en definiëren een door de snelheid u bepaalde parameter $\varphi$ volgens
\varphi={\scriptstyle{{1\over 2}}}\ln\left(\frac{1+u/c}{1-u/c}\right). (4.43)

Beschouw nu de in bovenstaande opgave beschreven situatie: Drie inertiaalsystemen S, S' en S'', met standaard Lorentz transformaties $S\rightarrow S'$ en $S'\rightarrow S''$ behorende bij snelheden u1 en u2 in de x-richting. Geef de snelheid behorende bij de resulterende transformatie $S\rightarrow S''$ aan als u. Deze u kan met formule (4.42) in u1 en u2 uitgedrukt worden. Volgens (4.43) hoort bij u1 de parameter $\varphi_1$
\varphi_1={\scriptstyle{{1\over 2}}} \ln\left(\frac{1+u_1/c}{1-u_1/c}\right) (4.44)

en bij u2 de parameter $\varphi_2$
\varphi_2={\scriptstyle{{1\over 2}}} \ln\left(\frac{1+u_2/c}{1-u_2/c}\right)\end{displaymath} (4.45)

Tenslotte hoort bij de snelheid u van de samengestelde transformatie de parameter $\varphi$ volgens
\varphi={\scriptstyle{{1\over 2}}} \ln\left(\frac{1+u/c}{1-u/c}\right) (4.46)

Deze $\varphi$ wordt met behulp van (4.42) uitgedrukt in u1 en u2:
\begin{array} \varphi={\scriptstyle{{1\over 2}}}\ln\left... ...c)}{(1-u_1/c)(1-u_2/c)}\right)=\varphi_1+\varphi_2.\end{array} (4.47)

We hebben dus gevonden dat de waarden van deze nieuwe parameter bij opeenvolgende Lorentz transformaties in de zelfde richting optellen; de parameter $\varphi$ is additief. Uiteraard is alles wat we hier voor Lorentz transformaties in de x-richting bespreken op de zelfde manier van toepassing op transformaties in de y- en de z-richting.

We gaan de Lorentz transformatie (4.37) in termen van $\varphi$ schrijven. Uit de definitie (4.43) volgt
\hphantom{{}^-}e^\varphi=\left(\frac{1+u/c}{1-u/c} \right)^{\scriptstyle{{1\over 2}}}=\gamma(u)(1+u/c), (4.48)

e^{-\varphi}=\left(\frac{1-u/c}{1+u/c}\right)^{\scriptstyle{{1\over 2}}}= \gamma(u)(1-u/c).(4.49)

We herinneren ons de definities van de hyperbolische trigoniometrische functies
\sinh\alpha={\scriptstyle{{1\over 2}}}(e^\alpha-e^{-\alpha}), (4.50)

\cosh\alpha={\scriptstyle{{1\over 2}}}(e^\alpha+e^{-\alpha}), (4.51)

en daarmee
\tanh\alpha=\sinh\alpha/\cosh\alpha=(e^\alpha-e^{-\alpha})/ (e^\alpha+e^{-\alpha}).(4.52)

Deze hyperbolische sinus, cosinus en tangens hebben natuurlijk niets te maken met hoeken of meetkunde; het zijn functies die wat hun eigenschappen betreft wiskundige analogieën met de gewone trigoniometrische functies vertonen. Met behulp van deze functies krijgen we uit (4.48) en (4.49)
\sinh\varphi=\gamma(u)u/c, (4.53)

\cosh\varphi=\gamma(u)\hphantom{u/c,} (4.54)

en de bij (4.43) behorende inverse relatie
u=c\tanh\varphi .(4.55)

We schrijven hiermee tenslotte de Lorentz transformatie (4.37) als
\begin{array} x'=\cosh\varphi~x-\sinh\varphi~ct,\\ y'=y,\\ z'=z,\\ t'=\cosh\varphi~t-\sinh\varphi~x/c.\end{array} (4.56)

De wiskundige analogie van de parameter $\varphi$ met een hoek variabele zien we ook nog als we (4.56) vergelijken met de formules voor een ruimtelijke draaiing van het assenstelsel om de z-as over een hoek $\theta$
\begin{array} x'=\cos\theta~x+\sin\theta~y,\\ y'=\cos\theta~y-\sin\theta~x,\\ z'=z,\\ t'=t.\end{array} (4.57)

Men noemt daarom de parameter $\varphi$ soms wel pseudo-hoek.

Toepassing:

Bekijk inertiaalsystemen S0 , S1, $S_2,\cdots$ Sn. Veronderstel dat iedere Sk zich ten opzichte van Sk-1 met een snelheid u beweegt. We willen weten wat de snelheid un van Sn ten opzichte van S0 is. Voor Galilei transformaties zou dat gewoon n maal u zijn, bij Lorentz transformaties is het een ingewikkelder uitdrukking. We kunnen proberen u stapsgewijze te berekenen met formule (4.42), maar het wordt snel duidelijk dat het niet zal meevallen op deze manier een gesloten uitdrukking voor un te vinden.
u_2=\frac{u+u}{1+u^2/c^2}, (4.58)

u_3=\frac{u+u_2}{1+uu_2/c^2}=\frac{3u+u^3/c^2}{1+3u^2/c^2}, (4.59)

u_4=\frac{u+u_3}{1+uu_3/c^2}=\frac{4u+4u^3/c^2}{1+6u^2/c^2+u^4/c^4},\quad \cdots\cdots(4.60)

Met de pseudo-hoekvariabele is dat echter erg gemakkelijk. Volgens (4.55) geldt
u_n=c\tanh\varphi_n=c(e^{\varphi_n}+e^{-\varphi_n})/(e^{\varphi_n}- e^{-\varphi_n}).(4.61)

De pseudo-hoekvariable is additief en dus is $\varphi_n$ gelijk aan n maal $\varphi$. We kunnen daarom (4.61) met behulp van (4.48) en (4.49) schrijven als
u_n=c\frac{[1+u/c]^n-[1-u/c]^n}{[1+u/c]^n+[1-u/c]^n}. (4.62)

We schrijven (4.62) nog een beetje anders
u_n=c\frac{1-\left(\frac{1-u/c}{1+u/c}\right)^n}{1+\left(\frac{1-u/c}{1 +u/c}\right)^n},(4.63)

en zien dan dat de snelheid un bij toenemende n wel steeds groter wordt maar niet naar oneindig gaat, zoals dat bij Galilei transformaties zou gebeuren. In plaats daarvan nadert un van beneden naar de lichtsnelheid c als limietwaarde. Dit illustreert een belangrijk fysisch principe:

Volgens de Einsteinse relativiteitstheorie kunnen deeltjes zich niet sneller bewegen dan het licht. De lichtsnelheid is een bovengrens.

Opgave 12:

Bewijs formule (4.63) ook door inductie naar n. D.w.z. laat zien dat u1=u (ja, ja, de eerste stap in een inductiebewijs is altijd volledig triviaal) en dat uit de geldigheid van de formule voor un, die van un+1 volgt, voor willekeurige n. Hiertoe moet U dus de snelheden un en u ``relativistisch optellen'' en laten zien dat het resultaat door un+1 wordt gegeven. Mocht U nog niet weten wat een bewijs door inductie is, dan weet U dat nu!

De conclusie dat niets zich sneller dan het licht kan voortbewegen lijkt in tegenspraak met wat in de astronomie bij quasars wordt waargenomen, waar gaswolken met grote snelheden worden uitgestoten. Er worden schijnbare snelheden gemeten die enkele malen groter dan de lichtsnelheid zijn.

psfile=quasar.ps figuur 4.11

In de figuur is de situatie weergegeven. We stellen het tijdstip van de explosie in de quasar op t=0. We zien deze explosie op aarde op het tijdstip t'=d/c, waarin uiteraard d de afstand tot de quasar is. Als de gaswolk zich onder een hoek $\theta$ (met de gezichtslijn van de quasar) beweegt, dan bereikt het licht van de gaswolk de waarnemer verhoudingsgewijze eerder naarmate deze hoek dichter bij nul ligt, eenvoudigweg omdat het licht een kleinere afstand af te leggen heeft om de waarnemer te bereiken. Deze vermindering in afstand bedraagt $vt\cos\theta$, waarin t de tijd is die verstreken is sinds de explosie. De gaswolk wordt waargenomen op het tijdstip $t'=t+(d-vt\cos\theta)/c$. De waarnemer blijft de quasar uiteraard opdezelfde plaats aan de hemel zien (aannemende dat de eigenbeweging verwaarloosd kan worden). Voor de waarnemer is het verschil in tijd verstreken tussen het waarnemen van de explosie en het waarnemen van de verwijderende gaswolk $\Delta t'=t(1-(v/c)\cos\theta)$. De in die tijd door de gaswolk afgelegde transversale afstand bedraagt $L=vt\sin\theta$, zodat het voor de waarnemer lijkt alsof de gaswolk de volgende snelheid heeft:
\begin{array}v_{obs}(\theta)=L/\Delta t'=v\sin\theta/(1-(v/c)cos\theta). \end{array}(4.64)

Dit is dus een factor $1/(1-(v/c)\cos\theta)$ groter dan de transversale snelheid $v_{tr}=v\sin\theta$. Deze transversale snelheid is kleiner dan de werkelijke snelheid, en dus zeker kleiner dan de lichtsnelheid. Nemen we als voorbeeld v=4c/5 en $\cos\theta=4/5$, dan kunt U eenvoudig na rekenen dat vobs=4c/3, en dus beduidend groter dan de lichtsnelheid.

Opgave 13:

Laat zien dat voor vast gegeven v, $v_{obs}(\theta)$maximaal is indien $\cos\theta=v/c$ en dat voor dit geval $v_{obs}=\gamma(v)v$.Hoe groot moet de snelheid van de gaswolk minstens zijn om een schijnbare snelheid groter dan de lichtsnelheid waar te nemen?

Uit dit voorbeeld zien we dat heel zorgvuldig geanalyseerd dient te worden wat we nu eigenlijk waarnemen, voordat we beweren dat er een tegenspraak is.

In de later ontwikkelde quantumtheorie is gebleken dat een lichtgolf zich onder bepaalde omstandigheden gedraagt als een deeltje. Een dergelijk deeltje wordt foton genoemd. Fotonen bewegen zich altijd met de lichtsnelheid c. In de elementaire-deeltjesfysica heeft men nog een ander type deeltje gevonden dat zich ook met de lichtsnelheid beweegt: het neutrino. Alle andere deeltje hebben snelheden die kleiner zijn dan c. We zullen later nog zien dat deeltjes die met de lichtsnelheid bewegen volgens de relativiteitstheorie massa nul hebben.

  • Volgende hoofdstuk
  • Naar inhoudsopave