14.
Meestal wordt in de leerboeken het Mössbauer effect besproken in de context van het Doppler-effect en terugstooteffecten. Verwarrend, want bij het Mössbauer effect treden deze effecten juist niet op. Ook hier gaan vrijwel alle vragen juist over terugstooteffecten.
a.
Een deel van de bij het verval vrijkomende energie komt ten goede aan de kinetische energie van het uitzendende deeltje, dat t.g.v impuls behoud een terugslag krijgt bij de emissie. Dit komt in mindering op de energie van het uitgezonden foton.
We stellen weer een impulsbalans op. Vóór de emissie hebben we
\begin{displaymath} p_{deeltje}=\left(\begin{array} {l}E'_0/c\\ \ \ 0\end{array}\right)\end{displaymath} (32)
Na de emissie
\begin{displaymath} p'_{deeltje}=\left(\begin{array} {c}E_0\gamma/c\\ -E_0v\gamm... ...}=\left( \begin{array} {c}h\nu_1/c\\ h\nu_1/c\end{array}\right)\end{displaymath} (33)
Wegens impuls behoud pdeeltje=p'deeltje+pfoton geldt  
 \begin{displaymath} \left(\begin{array} {c}E_0'/c\\ 0\end{array}\right)= \left(... ...\gamma/c+h\nu_1/c\\ -\gamma E_0v/c^2+h\nu_1/c\end{array}\right)\end{displaymath} (34)
Uit het ruimtelijk deel van vgl. (34), $h\nu_1=E_0(v/c)/\sqrt{1-v^2/c^2}$, volgt  
 \begin{displaymath} \frac{1}{1-v^2/c^2}=\frac{h^2\nu_1^2}{E_0^2}+1,\end{displaymath} (35)
Hieruit lossen we v op $v=ch\nu_1/\sqrt{h^2\nu_1^2+E^2_0}$.Uit de tijdcomponent van vgl. (34) volgt dan (via vgl. (35))
\begin{displaymath} (E'_0-h\nu_1)^2=\frac{E_0^2}{1-v^2/c^2}=E_0^2+h^2\nu_1^2\Rightarrow E'^2_0-2E'_0h\nu_1=E^2_0\end{displaymath} (36)
Substitutie van $E_0=E'_0-\Delta E_0$ levert tenslotte  
 \begin{displaymath} h\nu_1=\Delta E_0(1-\frac{\Delta E_0}{2E'_0})\end{displaymath} (37)
Zichtbaar licht heeft energieën van enkele eV en wordt uitgezonden door niet al te zware atomen. Als voorbeeld nemen we een natriumlamp ($\lambda=$589 nm), fotonenergie 2 eV, massa Na-atoom 22 GeV, de verhouding is dan $0,5 \times 10^{-10}$. Voor gammastraling (bijvoorbeeld zoals genoemd in (d) voor Hg), is de energie 412 keV en de massa van de Hg kern is ongeveer 200 GeV. In dat geval is de verhouding 10-6.
b.
In dit geval vangt het deeltje behalve de energie van het foton ook diens impuls op. Het deeltje krijgt dus kinetische energie, die opgebracht moet worden door de energie van het foton. Wil het foton ook een overgang kunnen bewerkstelligen, dan zal het tengevolge van dit effect ook een iets hogere energie moeten hebben. De impulsbalans is nu:
Voor de absorptie:
\begin{displaymath} p_{deeltje}=\left(\begin{array} {c}E_0/c\\ 0\end{array}\righ... ...n}=\left(\begin{array} {c}h\nu_2/c\\ h\nu_2/c\end{array}\right)\end{displaymath} (38)
Na de absorptie
\begin{displaymath} p'_{deeltje}=\left(\begin{array} {c}E_0'\gamma/c\\ E_0'v\gamma/c^2\end{array}\right)\end{displaymath} (39)
Wegens impuls behoud p'deeltje=pdeeltje+pfoton geldt  
 \begin{displaymath} \left(\begin{array} {c}E_0'\gamma/c\\ E'_0\gamma v/c^2\end{a... ...t(\begin{array} {c}E_0/c +h\nu_2/c\\ h\nu_2/c\end{array}\right)\end{displaymath} (40)
Uit het ruimtelijk deel van vgl. (40) leiden we af dat $1/(1-v^2/c^2)=1+ h^2\nu^2_2/E'^2_0$. Het tijdachtig deel geeft hiermee $(E_0+h\nu_2)^2=E'^2_0/(1 -v^2/c^2)=E'^2_0+h^2\nu^2_2$, zodat $2hE_0\nu_2+E_0^2=E'^2_0$. We substitueren hierin $E'_0=E_0+\Delta E_0$ om te komen tot  
 \begin{displaymath} h\nu_2=\Delta E_0(1+\frac{\Delta E_0}{2E_0})\end{displaymath} (41)
c.
In een gas, i.h.b. bij hoge temperaturen, hebben de deeltjes een snelheid, alle kanten op. Dit geeft extra Doppler-effecten, zowel bij emissie als absorptie. Wannneer een absorberend deeltje en een uitzendend deeltje relatief naar elkaar toe bewegen, kan toch resonante absorptie optreden: immers, het absorberende deeltje ziet een hogere frequentie en energie t.g.v het Doppler effect. Dit kan compenseren voor het effect bij (a) en (b), die er beide voor zouden zorgen dat de frequentie van het uitgezonden foton te laag is om geabsorbeerd te kunnen worden. Een tweede effect is de natuurlijke lijnbreedte, dit is een quantummechanisch effect, t.g.v. de eindige levensduur van de aangeslagen toestand is er een onbepaaldheid in de energie, die de emissie- en absorptielijnen verbreedt.
d.
Bij het Mössbauer effect wordt de impuls niet overgedragen aan een enkel deeltje, maar aan het hele kristal waarin de deeltjes gebonden zitten. T.g.v. de grote massa van het kristal t.ov. de massa van een enkel deeltje treden effecten bij (a) en (b) dus nu niet - of veel minder - op. De E0 en E'0 in vgl. (37) en vgl. (41) moeten nu vervangen worden door de massa van een heel kristal, grofweg 1023 maal zo veel. Derhalve geldt nagenoeg $\nu_1=\nu_2$. De natuurlijke lijnbreedte in aanmerking nemende van de overgangen, concluderen we dat de emissie en absorptielijnen nu wel voldoende overlappen om resonante absorptie mogelijk te maken. Voorwaarde is wel dat het kristal hecht genoeg is, d.w.z. dat de impuls van het foton niet zo groot is dat roostertrillingen (z.g. fononen) aangeslagen kunnen worden.
De vervolgvraag heeft niets met het Mössbauer effect te maken. Voor het Doppler-effect geldt
\begin{displaymath} \nu'=\nu\gamma(v)^{-1}/(1-\frac{v}{c}\cos\theta') \approx\nu/(1+\frac{v^2}{2c^2}-\frac{v}{c}\cos\theta'),\end{displaymath} (42)

waarbij $\theta'$ de hoek is tussen bewegingsrichting en signaalrichting, waargenomen door de waarnemer ($\theta'= \frac{1}{2}\pi$ komt dan overeen met het transversale Doppler-effect). Een radioactieve bron Hg wordt op het uiteinde van een rotor geplaatst, de straling ervan wordt opgevangen met een stilstaande detector. Deze bestaat uit een hoeveelheid vloeibaar kwik, met een telbuis ernaast. Het detector-kwik gaat zelf stralen als het absorbeert. Deze straling wordt gedetecteerd. Deze is maximaal als het kwik maximaal absorbeert, m.a.w. als geldt dat de van de rotor afkomstige straling, verlaagd t.g.v. de terugstoot bij emissie (onderdeel (a)) en verhoogd t.g.v. het Doppler-effect, precies overeenkomt met de voor absorptie noodzakelijke (onderdeel (b)) frequentie. We willen dus dat $\nu_1=(1+\frac{v^2}{2c^2}- \frac{v}{c}\cos\theta')\nu_2$. Hieruit volgt
\begin{displaymath} -\frac{v^2}{2c^2}+\frac{v}{c}\cos\theta'=\frac{\Delta E_0}{E_0}.\end{displaymath} (43)
Voor het beschreven geval geldt $\Delta E_0/E_0=412 keV/(198\times938 MeV)=2,2 \times 10^{-6}$. Voor het zuiver longitudinale effect ($\theta'=0$) vinden we dan v=665 ms-1. Voor een volledig transversaal effect ($\theta'=\pi/2$) zouden we moeten hebben $v/c=\sqrt{2\Delta E_0/E_0}=6\times 10^5 ms^{-1}$. Dit is voor praktische doeleinden volstrekt onhaalbaar.