1.
De situatie in deze opgave verschilt van het standaard geval in de zin dat op t = t' = 0 de oorsprong van S nu niet met die van S' samenvalt.
a.
Om de formules voor de Lorentz transformatie uit het standaardgeval toe te kunnen passen, kiezen we hulpcoördinaten in S, $(\tilde{x},\tilde{y}, \tilde{z},\tilde{t}) =(x-x_0,y-y_0,z-z_0,t-t_0)$, zodat dit wel het geval is. We gebruiken nu de formules (4.39) en het analogon van formule (4.38) voor Lorentz transformaties in de y-richting:
\begin{displaymath} \begin{array} {l} x' = \tilde{x}\\ y' = \gamma(u) (\tilde{y}... ...t} = \gamma(u)(\mbox{$t^\prime$}+\frac{u {y'}}{c^2})\end{array}\end{displaymath} (1)
In termen van de (x,y,z,t) wordt dit  
 \begin{displaymath} \begin{array} {l} x' = x-x_0\\ y' = \gamma(u)(y-y_0-u(t-t_0)... ... t_0+\gamma(u)(\mbox{$t^\prime$}+\frac{u {y'}}{c^2})\end{array}\end{displaymath} (2)
b.
i.
Om de formules van deze beweging t.o.v. S' te vinden, voeren we de Lorentz transformatie van vgl. (2) uit. Zo krijgen we uitdrukkingen voor (x',y',z') in termen van (x(t),y(t),z(t)), ofwel (x'(t),y'(t),z'(t))
\begin{displaymath} \begin{array} {l} x' = v_x t+b_x-x_0\\ y' = \gamma(u)(v_y t+b_y-y_0-u(t-t_0))\\ z' = v_z t+b_z-z_0.\end{array}\end{displaymath} (3)
De inverse Lorentz transformatie levert een uitdrukking voor t in termen van t' en y'. Dit invullen in de uitdrukking voor (x'(t),y'(t),z'(t)) geeft:
\begin{displaymath} \begin{array} {l} x'(t)=v_xt_0+\gamma(u)v_x(t'+\frac{y'u}{c^... ...(t)=v_zt_0+\gamma(u)v_z(t'+\frac{y'u}{c^2})+b_z-z_0.\end{array}\end{displaymath} (4)
We willen de y' afhankelijkheid elimineren om (x'(t'),y'(t'),z'(t')) te krijgen. Dit doen we door uit de middelste vergelijking y' op te lossen als functie van alleen t' en dit in de andere twee vergelijkingen in te vullen. Zo komen we tot  
 \begin{displaymath} \begin{array} {l} y' = \frac{v_y-u}{1-v_y u/c^2}t'+y^\prime_... ...c{u v_z}{c^2}\frac{v_y-u}{1-v_y u/c^2})t'+z^\prime_0\end{array}\end{displaymath} (5)
met
\begin{displaymath} \begin{array} {l} y^\prime_0 =(1-\frac{v_y u}{c^2})(b_y-y_0+... ...b_z-z_0+v_z t_0+\gamma(u)\frac{u v_z}{c^2}y_0^\prime\end{array}\end{displaymath} (6)
ii.
De snelheden in S' zijn nu eenvoudig uit vgl. (5) af te lezen
\begin{displaymath} \begin{array} {l} v_x' = \gamma(u) v_x ( 1 + \frac{u}{c^2} \... ...y u/c^2)\\ v_z' = \gamma^{-1}(u) v_z/(1 - v_y u/c^2)\end{array}\end{displaymath} (7)
Vergelijk dit met opg. 9 uit de syllabus, met de rollen van de x en y richting omgedraaid. Het bepalen van relatieve snelheden gaat veel eenvoudiger door gebruik te maken van de kettingregel, zoals in opg. 7-9 van de syllabus. Hier hebben we door expliciete berekening ter controle laten zien dat een eenparig rechtlijnige beweging in S, evenzo beschreven wordt als een eenparige rechtlijnige beweging in S'.
iii.
eenvoudig invullen vx=vz=0 geeft v'x=0, v'y=(vy-u)/(1- vyu/c2), v'z =0, precies het resultaat in vgl. (4.23) voor beweging in de y-richting.