6. Verdere eigenschappen van de ruimte-tijd

We gebruiken de kwadratische vorm (5.1) om iets te zeggen over de relatie tussen twee verschillende gebeurtenissen gezien als punten in de ruimte-tijd. We tekenen weer plaatjes als hulpmiddel. Beschouw eerst alle punten die voldoen aan de vergelijking

c2t2-x2-y2-z2=0. (6.1)


psfile=fig6-1en2.ps figuur 6.1 -- figuur 6.2

Deze verzameling vormt een ``hyperkegel'' (zie figuur 6.1). Dit zien we nog iets beter als we nog een extra ruimtelijke as tekenen, bijvoorbeeld de y-as (zie figuur 6.2). De kegel bestaat uit de wereldlijnen van lichtstralen die op op t=0 door x=y=z=0 gaan. We spreken daarom van lichtkegel. ( Als we ``aardse'' eenheden van lengte en tijd als meter en seconde gebruiken zal de kegel in een plaatje als figuur 6.1 of 6.2 er natuurlijk veel ``platter'' uitzien dan hier getekend is.)

We bekijken nu (zie figuur 6.3) een waarnemer die zich in rust bevindt in x=y=z=0. Zijn wereldlijn is de t-as. Gebeurtenis (1) is voor deze waarnemer het tijdstip t=0.

psfile=fig6-3en4.ps figuur 6.3 -- figuur 6.4

Daarnaast is er een tweede waarnemer die zich in een of ander voertuig bevindt dat zich met eenparige snelheid beweegt. Op de wereldlijn van die waarnemer bekijken we drie verschillende gebeurtenisen, (2a), (2b) en (2c).

a.
Voor gebeurtenis (2a) geldt

c2t2-x2-y2-z2>0 (6.2)

Men zegt dat (2a) tijdachtig (``time-like'') is ten opzichte van (1). De tweede waarnemer kan op het tijdstip van gebeurtenis (2a) vanuit (1) bereikt worden door een deeltje, bijvoorbeeld een kogel, mits het voldoende snelheid heeft.
b.
Voor gebeurtenis (2b) geldt

c2t2-x2-y2-z2=0 (6.3)

Men zegt dat (2b) lichtachtig (``light-like'') is ten opzichte van (1). Gebeurtenis (2b) kan vanuit (1) niet meer door een bewegend projectiel worden bereikt, maar nog wel door een lichtsignaal.
c.
Voor gebeurtenis (2c) geldt

c2t2-x2-y2-z2<0 (6.4)

Men zegt dat (2c) ruimteachtig (``space-like'') is ten opzichte van (1). Gebeurtenis (2c) kan op geen enkele manier met gebeurtenis (1) verbonden worden.

We hebben in het voorafgaande het referentiepunt (1) in de oorsprong van het ruimte-tijd coördinatensysteem genomen. Algemener kunnen we twee willekeurige punten nemen, met coördinaten x1, y1, z1, t1 en x2, y2, z2, t2. We zeggen dan dat de twee punten tijdachtig, respectievelijk lichtachtig, respectievelijk ruimteachtig ten opzichte van elkaar zijn als de kwadratische vorm

c2(t2-t1)2-(x2-x1)2-(y2-y1)2-(z2-z1)2 (6.5)

groter dan nul, respectievelijk nul, respectievelijk kleiner dan nul is. Daarbij hoort een lichtkegel waarvan de basis niet meer in de oorsprong hoeft te liggen (zie figuur 6.4). Vanwege de Lorentz-invariantie van de kwadratische vorm zijn deze relaties en ook de lichtkegel onafhankelijk van het gekozen inertiaalsysteem.

6.1 Gelijktijdigheid en Tijdsdilatatie

Twee personen, A en B, bewegen zich in verschillende voertuigen en met verschillende snelheden, zoals getekend in figuur 6.5. Als we in de 4-dimensionale ruimte-tijd de beide wereldlijnen snijden met een hypervlak t=constant krijgen we gelijktijdige gebeurtenissen. In ons 2-dimensionale plaatje betekent dit het snijden van de wereldlijnen met een lijn evenwijdig aan de x-as. Veronderstel dat we van het gegeven inertiaalsysteem S overgaan naar een nieuw systeem S' dat zich met een snelheid u in de x-richting beweegt. We hebben in figuur 6.5 de coördinaat-assen van S zowel als S' getekend. Voor een waarnemer in S' zijn gebeurtenissen gelijktijdig als ze op een lijn evenwijdig aan de x'-as liggen. Voor zo'n waarnemer is de gebeurtenis (2') en niet (2) gelijktijdig met (1). We trekken daaruit de algemene conclusie:

Gelijktijdigheid van gebeurtenissen op verschillende plaatsen is géén absoluut begrip.

psfile=fig6-5en6.ps figuur 6.5 -- figuur 6.6

We berekenen het tijdsverschil tussen (2) en (2') om te zien om welke orde van grootte het bij dit verschijnsel gaat. We nemen daarvoor een iets vereenvoudigde situatie, met A en B in rust ten opzichte van S, A in de ruimtelijke oorsprong en B op een afstand d daarvan verwijderd (zie figuur 6.6). Het punt (2') is het snijpunt van de wereldlijn van B en van de nieuwe x'-as. De eerste wordt gegeven door x=d, de tweede door t'=0, d.w.z. door de vergelijking $\gamma(u)(t-ux/c^2)=0$. Het snijpunt (2') heeft dus als coördinaten x=d, en t=ud/c2. Het verschil in tijd tussen de gebeurtenissen (2) en (2') is dan
\begin{displaymath} \Delta t=ud/c^2.\end{displaymath} (6.6)

Neem als voorbeeld daarin de afstand d gelijk aan de afstand aarde-zon, ongeveer $1,5\times10^8 km$, en als snelheid u van S' ten opzichte van S 10 km/s. We vinden dan $t=1,7\times 10^{-2}s$. Als d de afstand is van de aarde naar de dichtsbijzijnde ster, ongeveer $4,5\times 10^{13} km$, en u weer 10 km/s, dan wordt t gelijk aan $5\times 10^3 s$.

We kunnen ook het tijdsverschil tussen (2) en (2') berekenen zoals het door een waarnemer in S' wordt gemeten. Daarvoor moeten we de tijdscoördinaat t' van (2) in S' weten. Deze is $t'=\gamma(u)(t-ux/c^2)=-ud\gamma(u)/c^2$.Dit betekent dat het tijdsverschil tussen (2) en (2') in S' gelijk is aan
\begin{displaymath} \Delta t'=ud\gamma(u)/c^2\end{displaymath} (6.7)

en de verhouding tussen $\Delta t$ en $\Delta t'$
\begin{displaymath} \frac{\Delta t'}{\Delta t}=\gamma(u).\end{displaymath} (6.8)

Conclusie:

Het resultaat van een tijdmeting is afhankelijk van het inertiaalsysteem waarin we ons bevinden: Een tijdsinterval $\Delta t$ in een inertiaalsysteem S wordt in een systeem S' dat zich met een snelheid u ten opzichte van S beweegt een interval $\Delta t'=\gamma(u)\Delta t= \Delta t/\sqrt{1-u^2/c^2}$. Dit verschijnsel noemt men tijdsdilatatie.

6.2 Contractie van lengtes

We bekijken de invloed van het overgaan naar een bewegend coördinaatstelsel op de meting van lengtes. We doen dat weer aan de hand van een 2-dimensionaal ruimte-tijd plaatje (zie figuur 6.7).

psfile=fig6-7en8.ps figuur 6.7 -- figuur 6.8

Het inertiaalsystem waarvan we uit gaan noemen we weer S. Daarin bezien we een vast voorwerp, een balk, die zich in rust bevindt en die lengte $\ell$ heeft. De historie van de balk wordt beschreven door het gebied tussen de twee wereldlijnen A en B die horen bij de uiteinden van de balk. De lengte $\ell$ van de balk is het verschil van de x-coördinaten van twee punten met dezelfde t, bijvoorbeeld van de punten (2) en (1). Veronderstel dat de afstand van het linker uiteinde van de balk tot de oorsprong a is. We gaan over naar een nieuw inertiaalsysteem S' dat zich met de snelheid u ten opzichte van S beweegt. De lengte van de balk in S' is nu het verschil in x'-coördinaten van twee punten met gelijke t'-coördinaat, bijvoorbeeld van (2') en (1) die beide t'=0 hebben. De wereldlijn B van het rechter uiteinde wordt in S gegeven door $x=a+\ell$, en omdat $x=\gamma(u)(x'+ut')$,in S' door de vergelijking $\gamma(u)(x'+ut')=a+\ell$. Het punt (2') heeft t'=0, en dus $x'=(a+\ell)/\gamma(u)$. Op dezelfde manier wordt de wereldlijn A van het linker uiteinde in S' beschreven door de vergelijking $\gamma(u)(x'+ut')=a$, en heeft het punt (1) de x'-coördinaat $x'=a/\gamma(u)$. De lengte van de balk zoals die wordt gemeten in S' noemen we $\ell'$. Het is het verschil van de x'-coördinaten van de gebeurtenissen (2') en (1), dus
\begin{displaymath} \ell'=\ell/\gamma(u)=\ell\sqrt{1-u^2/c^2}.\end{displaymath} (6.9)

Conclusie:

Een balk die zich in zijn lengte richting met een constante snelheid u beweegt blijkt tengevolge van die beweging met een factor $\gamma^{-1}(u)=\sqrt{1-u^2/c^2}$ korter te zijn geworden. Dit verschijnsel noemt men lengte contractie of ook wel Lorentz-FitzGerald contractie.

(G. F. FitzGerald was naast Lorentz en Poincaré een derde belangrijke voorloper van Einstein.)

  • Volgende paragraaf
  • Naar inhoudsopave