INSTITUUT-LORENTZ VOOR THEORETISCHE FYSICA
UNIVERSITEIT TE LEIDEN
Oefententamen Speciale Relativiteitstheorie
1.
Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf op ieder vel uw naam en voorletters, op het eerste vel bovendien uw studierichting en collegekaartnummer.
2.
Schrijf duidelijk; onduidelijk schrift wordt niet nagekeken.
3.
Lees de opgaven aandachtig door, voordat U begint. Zorg dat U precies weet wat er gevraagd wordt (dat is al het halve antwoord). Geef bij numerieke antwoorden niet alleen het getal, maar ook de berekening.
4.
Loopt U vast in een opgave, bewaar die dan voor als U de andere opgaven hebt gemaakt. Verdeel Uw tijd evenredig over de opgaven. Voor ieder onderdeel is het aantal te behalen punten aangegeven.
Als geheugensteun: De Lorentz transformatie van een stelsel S met coördinaten (x,y,z,t) naar een stelsel S' met coördinaten (x',y',z',t'), dat beweegt met een snelheid u in de x-richting t.o.v. S, is: $t'=\gamma(u)(t-ux/c^2)$, $x'=\gamma(u)(x-ut)$, y'=y en z'=z, met $\gamma(u)=1/\sqrt{1-u^2/c^2}$. De lichtsnelheid c stellen we voor het gemak op c=300.000 km/s en de constante van Planck op $h=6,6\times 10^{-34} kg\, m^2/s$.

Succes
1.
Het ruimteschip Enterprise onderneemt een reis van de aarde naar Proxima Centauri, de dichtstbijzijnde ster op een afstand van 4,3 lichtjaar. (Een lichtjaar is de afstand die het licht in een jaar aflegt.)
a.
Bereken de snelheid die nodig is om in 4,3 jaar de afstand te overbruggen (tijd zoals gemeten met de klok van de Enterprise). (1,5 punt)
b.
Bij aankomst stuurt de Enterprise een radiobericht naar de aarde. Hoeveel (aardse) jaren zijn verstreken tussen het vertrek van de Enterprise uit een baan om de aarde en ontvangst van dit signaal op aarde? (1 punt)
2.
Het gedachtenexperiment van Einstein ter bepaling van de equivalentie van massa en energie is op het college besproken. We vatten het hier nog eens samen: In een doos met lengte L wordt aan de linkerkant een foton met frequentie $\nu$ uitgestuurd. Dat foton heeft een energie $E=h\nu$ en een impuls p=E/c. Door de terugstoot van het foton ten gevolge van behoud van impuls beweegt het zwaartepunt van de doos naar links met een snelheid v=-p/M (M de massa van de doos - terwijl de doos beweegt), totdat het foton aan de rechterkant wordt geabsorbeerd. De netto verplaatsing van het zwaartepunt, xz(t)=-pt/M=-Et/(Mc), moet gecompenseerd worden door de verplaatsing xf(t)=tc van de massa m, die we kennelijk aan het foton moeten toekennen. Uit Mxz(t)+mxf(t)=(mc2-E)t/c=0 volgt E=mc2.
a.
De analyse gaat uit van het inertiaalstelsel waarin de doos vóór emissie (en ná absorptie) van het foton stilstaat. Wat is de correcte reistijd van het foton in dit stelsel en teken in een ruimte-tijd diagram het verloop vanaf een moment vóór de emissie tot een moment ná de absorptie. (1,5 punt)
b.
De analyse gaat er ook vanuit dat door de terugstoot de doos in z'n geheel beweegt. Voor het experiment kunnen we de voor- en achterkant van de doos, in plaats van door zijwanden, ook door een kabeltje verbinden. We nemen aan dat er geen rek in het kabeltje zit. Laat nu zien dat het kabeltje zal breken. Beargumenteer Uw antwoord. (1 punt)

(Een betere variant van het gedachtenexperiment is hier te vinden).

3.
Een neutraal pion met een massa van 135 MeV/c2 ($1eV/c^2= 1,783\times 10^{-36}kg$) vervalt in twee fotonen.
a.
Wat is de golflengte van de twee fotonen en in welke richting t.o.v. elkaar zullen ze zich voortplanten in het ruststelsel van het pion. (1,5 punt)
b.
Een pion wordt typisch gevormd bij botsingen tussen deeltjes. Als het gevormde pion de versneller met de helft van de lichtsnelheid verlaat en in het ruststelsel van het pion de fotonen onder een hoek van 90o met de bewegingsrichting worden geproduceerd:
i.
Wat is dan de, in het stelsel van de versneller, waargenomen golflengte van ieder van de twee fotonen? (0,5 punt)
ii.
Onder welke hoeken t.o.v. van de bewegingsrichting van het pion worden de beide fotonen in dit stelsel waargenomen? (0,5 punt)
4.
De levensduur van een stilstaand muon, ca. 206,77 maal zo zwaar als een electron, bedraagt 2,2 microseconde. D.w.z. dat na deze tijd van de N muonen er gemiddeld N/e over zijn.
a.
Men overweegt muonen te versnellen in een deeltjesversneller. Als deze versneller cirkelvormig is met een omtrek van 27 km (zoals de LEP versneller bij CERN te Genève) en de muonen een snelheid $0,999997\times c$ hebben, na hoeveel rondjes is dan nog een fractie 1/e van het aantal muonen over? (1,5 punt)
b.
Een muon valt uiteen in een electron en twee massaloze neutrino's (die net als fotonen zich altijd met de lichtsnelheid voortbewegen en in principe een willekeurig kleine energie kunnen hebben - voor massieve deeltjes kan de energie uiteraard niet kleiner dan mc2 zijn). Waarom kan bij het verval van het muon het electron niet alle beschikbare energie opnemen? (1 punt)