3.
a.
Uit behoud van impuls volgt dat beide fotonen in het ruststelsel, waar voor het verval de impuls nul was, na het verval in precies tegengestelde richting van elkaar moeten bewegen. De absolute waarde p van de impuls is dus voor beide fotonen gelijk. Beide fotonen hebben dus ook dezelfde energie E (=pc). Uit energiebehoud volgt dan dat E=67,5 MeV. De golflengte volgt uit $\lambda=h/p=hc/E=$ $6,6\times10^{-34}m/0,5\times135\times1,783\times 10^{-30}\times3\times10^8=$ $1,82\times10^{-14}m$. Dit is harde gammastraling. (1,5 punt)
b.
i.
We gebruiken dat $\underline{p}=(E/c,p_1,p_2, p_3)$ een 4-vector is. We kiezen de bewegingsrichting van het pion langs de x-richting, zodat p1=p3=0 en $p_2=\pm E/c$. De Lorentz transformatie voor de p0 coefficient geeft dan $E'/c=\gamma(u)E/c$. Met $\lambda'= hc^2/E'$ volgt dus $\lambda^\prime=\lambda/\gamma(u)=\sqrt{3}\lambda/2$. U kunt uiteraard ook de formule van het Doppler-effect gebruiken - die hebben we hier in feite even afgeleid. Een andere nog kortere methode is op te merken dat voor het verval het muon een totale energie gelijk aan $\gamma(u)135 MeV= 90\sqrt{3}MeV$ heeft. Beide fotonen houden uiteraard gelijke energie zodat $E'=45\sqrt{3}MeV$ en hieruit volgt de eerder bepaalde waarde voor $\lambda'$.(0,5 punt)
ii.
Onder de Lorentz transformatie geldt ook dat $p_2^\prime=p_2=\pm p$. Verder geldt dat $p'=E'/c=\gamma(u)E/c=\gamma(u)p$, zodat de hoek $\alpha$ die de twee fotonen met de bewegingsrichting van het pion maken bepaald is door $\sin\alpha=p_2^\prime/p'=\pm1/\gamma=\pm\sqrt{3}/2$. Dus $\alpha=\pm 60^o$. (0,5 punt)