Aanvullingen op het dictaat + opgaven 1998

Nummers voor figuren, vergelijkingen en pagina's verwijzen naar het dictaat van Dr. P.J.M. Bongaarts.

Sinds 1999 verwerkt in een nieuwe syllabus.

Bij pag. 4 en 5

Voor de algemene relativiteitstheorie kan het relativiteitsprincipe uitgebreid worden tot de opmerking dat men lokaal geen onderscheid kan maken tussen een versnelling en een gravitatieveld. Dit helpt ook om een inertiaalstelsel iets minder abstract te definiëren als het stelsel van vrije val (m.a.w. er werken geen netto krachten). Zo'n stelsel wordt ook wel een lokaal inertiaalstelsel (of lokaal Lorentz stelsel) genoemd. Een voorbeeld is een ruimteschip als de Mir, waar de astronauten geen zwaartekracht ondervinden (ze zijn in hun baan om de aarde konstant in vrije val - alternatief kan men zeggen dat de zwaartekracht wordt opgeheven door de centrifugale kracht). Er is wel een heel kleine getijdekracht, omdat de balans strikt gesproken alleen voor het zwaartepunt van het ruimteschip dient (daarnaast is er een "schijnkracht" t.o.v. het zwaartepunt tengevolge van de centrifugale kracht). Voor de getijdekracht geldt dat deze evenredig is met de afmeting van het ruimtestation, gedeeld door de derde macht van de afstand tot het centrum van de aarde.

Opgave 1: Bereken de grootte van de residuele kracht t.o.v. het zwaartepunt door getijde en centrifugale kracht mee te nemen. Kies zelf voor de baan van de Mir een realistische waarde. U zult nu begrijpen waarom een ruimteschip (en een vrij vallende lift) een goede benadering voor een inertiaalsysteem zijn.

Bij pag. 7

In vergelijking (3.3) voor de Galilei transformaties is de fundamentele aanname gemaakt dat $t^\prime=t$ , m.a.w. dat er een universeel gedefinieerde tijd bestaat (zie ook pag. 11). Echter voor het meten van de tijd op verschillende plaatsen moeten we de stand van de klokken vergelijken en voor het vergelijken moeten we informatie uitwisselen. Dit geldt evenzeer voor het meten van de lengte van een meetlat. In het dagelijks leven komt deze vergelijking tot stand door het proces van kijken (naar de wijzers van het uurwerk), maar stel dat we blind waren, dan moeten we eerst naar de klok om de stand te controleren. Bij ver verwijderde klokken kost dat een aanzienlijke tijd en als we na het gelijkzetten van de klokken terug gaan naar onze oorsponkelijke plaats wordt de stand van de klok gededuceerd door te corrigeren voor de tijd die we nodig hadden om terug te keren op onze plaats. Dat zijn in dit geval aanzienlijke correcties waarvoor we precies moeten weten wat onze snelheid was. Zo ook moeten we dus precies weten wat de snelheid van het licht is. Als deze oneindig is, kunnen we klokken instantaan gelijk zetten.

Het was Ole Roemer die in 1676 voor het eerst aantoonde dat licht een eindige snelheid heeft. Hij deduceerde dit door zorgvuldig het tijdstip bij te houden, waarop de maan Io binnentreedt in de schaduw van de planeet Jupiter, waar Io in 1,77 dagen omheen loopt. Door de situatie tijdens oppositie (waar de aarde tussen zon en Jupiter in staat) en conjunctie (waar de zon tussen aarde en Jupiter staat - en we dus Jupiter maar moeizaam kunnen waarnemen) met elkaar te vergelijken ontdekte Roemer dat er een discrepantie was die verklaard kon worden door aan te nemen dat het licht er ca. 22 minuten voor nodig had om de aardbaan te doorkruisen, oftewel een afstand af te leggen van 2 A.E. (Astronomische Eenheden). Met 1 A.E. de gemiddelde afstand van de aarde tot de zon, bepaald op ca. 150 millioen km, kwam Christiaan Huygens twee jaar later uit op een snelheid van 200.000 km/s. In feite is de snelheid van het licht ca. 300.000 km/s, zodat Roemer een systematische fout had (in werkelijkheid heeft het licht 16 à 17 minuten nodig om de aardbaan te doorkruisen).

Opgave 2: Laat zien dat er ook een tijdsverschil optreedt als de aarde zich midden tussen oppositie en conjugatie bevindt, en dat dit tijdsverschil (met oppositie of conjugatie) op kan lopen tot ca. 1,3 uur (zowel voor als achter). Gegeven is verder, naast de bovenvermelde omlooptijd van Io, dat de afstand van Jupiter tot de zon 5,2 A.E. bedraagt (we nemen voor het gemak alle banen cirkelvormig).

Bij pag. 9 en 10

Op zich hoeft het eindig zijn van de lichtsnelheid geen probleem op te leveren met de Galilei invariantie, zolang het licht zich gedraagt zoals we van golven zouden verwachten: ze planten zich voort in een medium en dat medium definieert het referentiekader waaraan we alle beweging kunnen relateren. Voor geluids- en watergolven hangt de golfsnelheid niet af van de snelheid van de bron, maar wel van die van de waarnemer t.o.v. van het medium (uiteraard hangt de frequentie wel af van de snelheid van de bron, zoals we ook later bij het dopplereffect voor licht zullen bespreken). Het is echter de vraag of lichtgolven zich werkelijk gedragen als geluidsgolven, d.w.z. of er echt een ether bestaat. Het experiment van Michelsen en Morley heeft aangetoond dat er inderdaad geen ether is (of dat het licht zich er niets van aantrekt). Het is een ietwat vreemde misconceptie geweest te denken dat lichtgolven een ether nodig hebben. De Maxwellvergelijkingen beschrijven deze golven in vacuum zonder één porbleem, waar het principe gebaseerd is op het feit dat een tijdsafhankelijk elektrisch veld een tijdsafhankelijk magnetisch veld genereert, wat op zijn beurt weer een tijdsafhankelijk electrisch veld genereert en zich alsdus voortplant. Hiervoor is de tussenkomst van een medium niet nodig.

Vóór de bespreking van het Michelson en Morley experiment is het dan ook mogelijk om al aan te geven dat de Maxwell theorie kuren vertoont als we een Galilei transformatie toepassen. Het was deels om deze kuren te omzeilen dat Lorentz zijn nu beroemde transformatie introduceerde, zodanig dat de Maxwellvergelijkingen eronder invariant zijn (zoals op pag. 16 opgemerkt heeft Lorentz er niet de algemene geldigheid, met haar consequenties voor ruimte en tijd, in onderkend en was het Einstein die het onderliggende principe bloot heeft weten te leggen). Aan een heel eenvoudig voorbeeld kunnen we zien dat er inderdaad bij electromagnetisme problemen met de Galilei invariantie optreden.

Beschouw hiertoe twee deeltjes met lading q op een afstand r die een Coulomb afstoting voelen ter grootte van $F=q^2/(4\pi \epsilon_o r^2)$ .Door een bewegende waarnemer wordt naast de Coulomb afstoting echter ook een aantrekkende kracht gezien, die samenhangt met het feit dat een bewegende lading een electrische stroom representeert en dat twee evenwijdig stromen elkaar aantrekken. Deze aantrekkingswet vormt de definitie van de Ampère, die luidt dat de kracht die een stroomdraad per meter ondervindt van een daaraan evenwijdige stroomdraad met dezelfde stroomsterkte I op een afstand van een meter precies een kracht van 2.10^-7 N ondervindt indien I=1 A. Als het goed is kent U deze wet nog van de middelbare school, $F_A=\mu_o I^2/(2\pi r)$ . Wat heeft dat met ons probleem hier te maken zult U zich afvragen. Immers bij een stroomdraad wordt ten eerste de Coulomb afstoting afgeschermd, doordat de stroomdraad neutraal is (alleen de negatief geladen elektronen worden getransporteerd). Verder is de stroom qv lokaal, en strekt deze zich niet uit langs een hele draad. De kracht is in dit geval dan ook niet evenredig met 1/r, maar met 1/r², $F_s=\mu_o q^2v^2/(4\pi r^2)$ . Net als bij de stroomdraden wordt deze aantrekkende kracht, gericht langs de verbindingslijn tussen de twee bewegende ladingen, veroorzaakt door het feit dat een bewegend electrisch veld een magnetisch veld veroorzaakt en dat de andere bewegende lading een Lorentz kracht ondervindt tengevolge van dit magneetveld.

Opgave 3: Laat zien dat uit $F_s=\mu_oq_1v_1q_2v_2/(4\pi(\vec r_1-\vec r_2)^2)$ (gericht langs de verbindingslijn tussen de twee ladingen) de wet van Ampère volgt. Gebruik hierbij dat de stroomdraden opgebouwd kunnen worden uit bewegende ladingspakketjes, $qv=I\Delta \ell$ , zodat de kracht die de stroom I₁ op een stukje stroomdraad ter lengte $\Delta\ell_1$ voelt ten gevolge van de stroomdraad I₂ gegeven wordt door

$\begin{displaymath} F=\int^\infty_{-\infty} dy~\mu_or I_1 I_2\Delta\ell_1/(4\pi(r^2+y^2)^{3/2})\end{displaymath}$

(Hierin speelt dus I₂dy de rol van q₂v₂ en wordt de totale kracht verkregen door alle stukjes dy bij elkaar op te tellen - te integreren dus).

Nu we ons verzekerd hebben van de juistheid van de extra aantrekkende kracht, concluderen we dus dat de bewegende waarnemer een totale kracht ziet die gegeven wordt door F_v=(1-v²/c²)F, waar F de kracht in het ruststelsel (de Coulomb kracht) is. Dit is niet wat we van een Galilei transformatie zouden verwachten.

Het Michelson-Morley experiment heeft afgerekend met het idee van de ether. Het beoogde effect werd niet waargenomen, zoiets heet een nulresultaat. In figuur 3.1 ziet U de opstelling. In de praktijk werd in plaats van sterlicht een aan de opstelling bevestigde lichtbron gebruikt, immers de snelheid van de bron beinvloedt in een ethertheorie de lichtsnelheid niet. Stel nu dat we de ether vergelijken met een rivier, die horizontaal naar links een stroomsnelheid heeft van 5 km/s. De fotonen die tussen het halfdoorlatende spiegeltje G en de spiegels S₁ en S₂ heen en weer lopen kunnen we vergelijken met een speedboat, die we een snelheid van 5 km/s geven. Als we beide afstanden 100 m veronderstellen, dan is de vraag welke boot het eerste terug is bij de spiegel G. Voor de boot die bij S₂ keert is de verstreken tijd 100/2+100/8 sec=50+12,5 sec (op de heenreis is het tegen de stroom in ploeteren met een snelheid van 2 m/s, terwijl op de terugreis een flitsende 8 m/s wordt bereikt). Voor de boot die bij S₁ keert, kost het wat moeite om niet met de stroom af te drijven en moet de boot zijn steven dus in de richting van de stroom draaien, precies zodanig dat de snelheidscomponent gericht tegen de stroom in 3 m/s bedraagt. Er blijft dan dus gebruikmakende van de stelling van Pythagoras slechts 4 m/s over voor het afleggen van de te overbruggen afstand. De verstreken tijd is nu dus 2*100/4=50 sec, ruimschoots sneller dan de andere boot.

Als we nu de snelheid van de boot vervangen door de lichtsnelheid c, de stroomsnelheid door de snelheid v van de ether en de af te leggen afstand door d, dan kost de reis van G naar S₂ en terug 2cd/(c²-v²) sec en de reis van G naar S₁ en terug, dwars op de richting van de ether, kost $2d/\sqrt{c^2-v^2}$ sec. Van te voren kon men niet weten hoe hard en uit welke richting de ether zou waaien. Het zou dus toevallig op de dag van meting windstil geweest kunnen zijn. Echter de aarde beweegt om de zon met een snelheid van 30 km/s, zodat er slechts op een heel bepaalde dag van het jaar mogelijk geen etherwind is (die dan zelf ook 30 km/s t.o.v. de zon moet bedragen, uiteraard ervan uitgaande dat het etherweer stabiel is over de tijdsduur van een jaar). Het nulresultaat was totaal onverwacht en het verhaal gaat dat Michelson, toen al een beroemd experimentator, voor elkaar heeft gekregen op een dag in 1887 in Cleveland Ohio al het tramverkeer stil te leggen om de trillingen in de interferometer te minimaliseren!

Lorentz en Fitzgerald hebben onafhankelijk van elkaar geprobeerd het nulresultaat te verklaren door aan te nemen dat de interferometerarm, die in de richting van de etherwind wijst, een contractie ondergaat met een factor $\sqrt{1-v^2/c^2}$ . Als de arm niet precies in de richting van de etherwind wijst, moet men voor v de component in de richting van de arm nemen bij het berekenen van de contractie. De volgende opgave (gebaseerd op een experiment uit 1932 door Kennedy en Thorndike) laat zien dat voor gelijke armen dit inderdaad het nulresultaat verklaart, maar dat zodra de armen van ongelijke lengte zijn er ook met de Lorentz-Fitzgerald contractie een variatie t.g.v. de etherwind te verwachten is.

Opgave 4: Laat zien dat voor een interferometer met armen van lengte d₁ en d₂, waarbij de etherwind een hoek $\alpha$ met de eerste arm maakt, het tijdsverschil voor de looptijd in de twee armen, die verondersteld worden een contractie te ondergaan bepaald door de snelheidscomponent gericht langs de armen, de volgende afhankelijkheid van $\alpha$ en v vertoont:

$\begin{displaymath} 2c^{-1}(1-v^2/c^2)^{-1}(d_1-d_2)\sqrt{1-v^2\cos\!{}^2\alpha/c^2} \sqrt{1-v^2\sin{}^2\alpha/c^2}\end{displaymath}$

Merk op dat dit tijdsverschil inderdaad verdwijnt bij een interferometer met gelijke armen!

Naast de contractie van lengte heeft men ook een zg. tijdsdilatie nodig, maar op het moment dat we die ook in rekening brengen kunnen we het resultaat ook samenvatten zoals Einstein dat deed, en strikt gesproken Maxwell ons al die tijd heeft proberen te vertellen:

Het lichtpostulaat: De lichtsnelheid heeft in ieder (lokaal) inertiaalstelsel dezelfde waarde.

Door de toevoeging van het woord lokaal geldt dit postulaat ook in de aanwezigheid van gravitatie!

Het beroemde gedachtenexperiment van Einstein met de rijdende trein - die ook als voorbeeld dienst doet om aan te duiden dat eenparige beweging een relatief begrip is (en wie heeft niet die sensatie van verwarring gehad om te besluiten of de trein nu wel of niet rijdt als U alleen maar de trein naast U kan zien) - laat zien dat gelijktijdigheid, in de Newtons theorie nog zo vanzelfsprekend, met een waarnemer-onafhankelijke lichtsnelheid plots geheel op zijn kop wordt gezet. Laat hiertoe een lichtflits vanuit het midden van de trein naar beide kanten zich uitspreiden. Voor een waarnemer in de trein bereikt het licht de voor- en achterkant van de trein precies gelijktijdig, maar voor een waarnemen op het perron wordt de achterkant eerder bereikt dan de voorkant, zoals U eenvoudig nagaat gebruikmakende van het feit dat ook voor de waarnemer op het perron het licht zich met de snelheid c voortbeweegt!

$\begin{figure} \vspace{4.5cm} \hskip5cm \special{psfile=lichtklok.ps voffset=-10 hoffset=0 vscale=45.0 hscale=45.0}\end{figure}$

De tijdsdilatatie kunnen we ook op uiterst eenvoudige wijze demonstreren. We gebruiken hierbij een zg. lichtklok die bestaat uit een ontvanger/zender met erboven, op een afstand L, een spiegel. De tijd verstreken tussen het zenden en ontvangen, na reflectie tegen de spiegel, van een foton kunnen we als één tijdseenheid beschouwen. Noem deze $\Delta t = 2L/c$ .Anderzijds, voor een bewegende waarnemen (loodrecht op de verbinding tussen spiegel en zender/ontvanger, die dus geen contractie ondervindt) geldt nog steeds dezelfde snelheid van het licht, maar beschrijft dit nu de weg van een driehoek met een basis $v\Delta t^\prime$ en een hoogte L. De verstreken tijd $\Delta t^\prime$ tussen het zenden en ontvangen van een foton, zoals waargenomen door de bewegende waarnemer is nu evenzo de totale afgelegde weg van het foton gedeeld door de lichtsnelheid, dus $c\Delta t^\prime = 2\sqrt{L^2+(v\Delta t^\prime/2)^2}$ .Aangezien $L=c\Delta t/2$ vinden we nu eenvoudig de beroemde tijdsdilatatie $\Delta t^\prime=\Delta t/\sqrt{1-v^2/c^2}$ .

Ook de tijdsdilatie is experimenteel bevestigd in experimenten waar de cosmische straling wordt bestudeerd. Hoog in de atmosfeer, op een hoogte van ca. 10 km, komt de cosmische straling (zeer hoog-energetische fotonen of snelle deeltjes) in botsing met de lucht en vinden er kernreakties (en verstrooiing) plaats. Dat is maar goed ook, want zeer harde straling is niet gezond voor mens en dier. Een van de deeltjes die bij zo'n reactie in grote hoeveelheden worden geproduceerd is het muon, dit is een zwaardere uitvoering van het electron met een massa van ca. 206,77 maal de massa van het electron. Het muon is zelf instabiel en valt in ca. $\tau=2,2\times 10^{-6}$ sec weer uiteen in bijv. een electron en twee neutrino's. Op basis van de Newtonse mechanica zou, zelfs bij een snelheid van het muon die dichtbij bij de lichtsnelheid zit, het muon slechts 660 meter afleggen voordat het vervalt (strikt gesproken verloopt het verval met een kansverdeling die beschreven wordt door een e-macht, $e^{-t/\tau}$ ). Na 10 km zijn dan praktisch alle muonen vervallen, maar dit is in tegenspraak met de waarnemingen. Vanuit het standpunt van de waarnemer verloopt het vervalsproces van een bewegend muon echter met een tijd $\tau^\prime=\tau/\sqrt{1-v^2/c^2}$ en bij een snelheid v=0,966 c is de afgelegde afstand gelijk aan de te overbruggen afstand van 10 km. Hoe dichter de snelheid van het muon de snelheid van het licht nadert hoe meer muonen nog niet vervallen zijn voordat ze het aardoppervlak bereiken. Vanuit het oogpunt van het muon wordt de afstand het aardoppervlak verkort met een factor $\sqrt{1-v^2/c^2}$ en hoeft het dus bij een snelheid van 0,966c, inplaats van de 10 km, maar 660 meter te overbruggen. De conclusie is in beide gevallen dezelfde; door relativistische effecten kan het muon het aardoppervlak bereiken voordat het is vervallen. Ook in deeltjesversnellers, waar snelheden dicht bij die van het licht worden bereikt, leven onstabiele deeltjes aanzienlijk langer dan in rust. Men heeft dan ook plannen om cirkelvormige versnellers te bouwen waarin muonen versneld worden. Het grote voordeel is dat het energieverlies dat optreedt door de remstraling in een cirkelvormige baan evenredig is met E²/m⁴. Bij gelijke energie van het deeltje, verliest een electron maar liefst 1.6 miljard maal meer energie dan een muon. Uiteraard moeten de muonen gemaakt worden met zeer grote snelheid, want anders zijn ze vervallen voordat U ze kan versnellen. Men is nu op een punt gekomen waar zo'n muonversneller technisch haalbaar lijkt.

Nu het duidelijk is dat tijdsdilatatie ook werkelijk experimenteel is aangetoond moeten we ons afvragen of het voor ieder soort klok apart moet worden gecontroleerd. Dat zou uiteraard een ramp zijn en het doel van een fysicus is altijd wetten op te stellen die zo universeel mogelijk zijn, zodat ze ook een maximaal voorspellende waarde hebben. Die universaliteit van de de tijdsdilatatie is echter heel eenvoudig aan te tonen. Bijv. kunnen we i.p.v. de lichtklok een tennisklok maken, waarbij een tennisbal tegen de spiegel terugkaatst. Als we het zo inrichten dat de tennisbal terug is gekeerd, nadat het licht een geheel aantal keren, zeg n, heen en weer is gegaan (we kiezen n voldoende groot om te zorgen dat de tennisbal een realistische snelheid nodig heeft en we verwaarlozen uiteraard energieverliezen). Omdat een gebeurtenis op dezelfde tijd en dezelfde plaats (het samenvallen van de terugkeer van de tennisbal en het foton - na n reflecties) in ieder stelsel natuurlijk hetzelfde is (alleen gelijktijdigheid voor gebeurtenissen op verschillende plaatsen is niet langer gegarandeerd), zullen deze twee klokken in ieder stelsel gelijk lopen. Dit geldt uiteraard ook voor klokken die op een heel ander principe rusten, waarbij we via een wijzerplaat de klokken op dezelfde plaats met elkaar kunnen vergelijken. Dus de tijdsdilatatie is universeel en het is niet een eigenschap van de klok maar van de tijd die tot tijdsdilatatie aanleiding geeft.

Voordat we de Lorentz transformatie bespreken geven we nog een eenvoudige afleiding voor de regels van het optellen van snelheden. Dat ook hier iets bijzonders gebeurt is direkt duidelijk uit het lichtpostulaat.

Opgave 5: Beredeneer waarom bij het optellen van een willekeurige snelheid bij de lichtsnelheid, we altijd weer de lichtsnelheid moeten krijgen.

Het toepassen van de Newtonse regels op dit feit zou leiden tot de vergelijking c=c+u, voor willekeurige u, en dit zou alleen kunnen als c oneindig is, in tegenspraak met de feiten. Om te zien hoe snelheden optellen, beschouwen een zeer elegant gedachtenexperiment van Mermin. Hierbij wordt achter in een rijdende trein tegelijk een lichtflits en een kogel (met snelheid v) naar de voorkant geschoten. Het licht wordt gereflecteerd aan een spiegel op de voorwand en ontmoet de kogel op een fractie f van de totale lengte van de trein. De fractie f geeft een gebeurtenis die samenvalt in ruimte en tijd (de kogel ontmoet het terugkerende foton) en zal door waarnemers die t.o.v. de trein bewegen als dezelfde gemeten worden. Laat de trein met een snelheid u t.o.v. een waarnemer bewegen (de waarnemer beweegt dus met een snelheid -u t.o.v. de trein). We berekenen nu wat voor die waarnemer f is. De snelheid van de kogel in de trein, t.o.v. van de waarnemer buiten, noemen we w, en de lengte van de trein zoals door de waarnemer gemeten noemen we d (de waarde van d zelf is niet relevant, maar als U wilt kunt U $d=L\sqrt{1-v^2/c^2}$ nemen, met L de lengte van de trein in rust). We vinden nu w(T₁+T₂)=c(T₁-T₂), zijnde de netto afstand gemeten vanaf de achterkant tot het punt waar kogel en foton elkaar ontmoeten. Hieruit volgt T₂/T₁=(c-w)/(c+w). Anderzijds geldt ook dat cT₁=d+uT₁, zijnde de afstand die het foton tot het punt van reflectie aflegt. Evenzo is de afstand van de spiegel tot het ontmoetingspunt met de kogel gegeven door cT₂=fd-uT₂. Hieruit is d te elimineren en volgt T₂/T₁= f(c-u)/(c+u). Het gelijkstellen van deze twee uitdrukking voor T₂/T₁ leidt tot

$\begin{displaymath} f=f(u,w)={(c+u)(c-w)\over{(c-u)(c+w)}}\end{displaymath}$

Deze afleiding geldt voor iedere waarnemer, i.h.b. voor een waarnemer die met de trein meereist. Voor deze waarnemer moet u=0 en w=v worden genomen, en geldt f=f(0,v)=(c-v)/(c+v). Omdat f voor beide waarnemers hetzelfde moet zijn volgt dus de uitdrukking voor w, die leidt tot het ``optellen'' van de snelheden u en v:

$\begin{displaymath} w={u+v\over{1+uv/c^2}}\end{displaymath}$

$\begin{figure} \vspace{3cm} \hskip4cm \special{psfile=mermin.ps voffset=-20 hoffset=0 vscale=55.0 hscale=55.0}\end{figure}$

Bij pag. 12

Opgave 6: Waarom is uit figuur 4.4.6 af te lezen dat de massas van de twee deeltjes die met elkaar botsen gelijk moeten zijn.

Bij pag. 14-16

Een kortere afleiding van de Lorentz transformatie gaat als volgt: De oorsprong in het stelsel $S^\prime$ , weergegeven door $x^\prime=0$ ,wordt in het stelsel S weergegeven door de eenparig rechtlijnige beweging x(t)=ut, oftewel x-ut=0. Omdat we willen dat de transformatie lineair is moet dus gelden dat $x^\prime=\gamma(u)(x-ut)$ . Omgekeerd kunnen we uitgaan van de oorsprong in S, weergegeven door x=0, die in $S^\prime$ wordt beschreven door $x\prime+ut^\prime=0$ , zodat $x=\gamma(-u)(x^\prime+ut^\prime)$ . Merk op dat de relativiteit ons oplegt dat de ene transformatie te verkrijgen is uit de andere door de snelheid van richting te laten omkeren. Maar we zijn volledig vrij de richting van positieve x-as te kiezen, omdat de ruimte isotroop is. (De ruimte-tijd is ook homogeen, hetgeen ons de vrijheid geeft het nulpunt van plaats en tijd te kiezen). Dus concluderen we dat $\gamma(u)=\gamma(-u)$ .We gebruiken nu dat een lichtstraal vanuit de oorsprong, op t=0 beginnende, in beide stelsels beschreven wordt door x=ct en $x^\prime=ct^\prime$ .Enerzijds volgt daaruit dat $ct^\prime=x^\prime=\gamma(u)(ct-ut)=\gamma(u)(c-u) t$ , anderzijds, de rol van S en $S^\prime$ verwisselend, $ct=x=\gamma(u) (ct^\prime+ut^\prime)=\gamma(u)(c+u)t^\prime$ . Hieruit kunnen we $\gamma(u)$ oplossen, bijv. door de twee uitdrukking met elkaar te vermenigvuldigen en links en rechts $t^\prime t$ uit te delen. Men vindt eenvoudig dat

$\begin{displaymath} \gamma(u)=1/\sqrt{1-u^2/c^2}\end{displaymath}$

Verder kunnen we ook $t^\prime$ in termen van x en t bepalen, door $x=\gamma(x^\prime+ut^\prime)$ te schrijven als $t^\prime=(x/\gamma-x^\prime)/u$ en vervolgens de uitdrukking $x^\prime=\gamma(x-ut)$ te substitueren. Er volgt $t^\prime=\gamma(t-ux/c^2)$ en de uitdrukking van t in termen van $x^\prime$ en $t^\prime$ wordt hieruit verkregen door u van teken om te laten klappen. Uiteraard is deze afleiding equivalent aan die van het dictaat maar is zo iets minder abstract geformuleerd.

Bij pag. 17-19

Ook voor de afleiding van de versnelling zullen we de zaken iets vereenvoudigen, simpelweg door in plaats van de willekeurige parameter $\tau$ de tijd t te kiezen. Dus we beschrijven in het stelsel S een deeltje dat een willekeurige beweging x(t) ondergaat en als gewoonlijk definiëren we v(t)=dx(t)/dt en a(t)=dv(t)/dt, zijnde respectievelijk de snelheid en de versnelling. Door de Lorentz transformatie naar het stelsel $S^\prime$ uit te voeren, vinden we wat de baan van het deeltje in dat stelsel is, geparametriseerd door de tijd t van het stelsel S (let op, niet als functie van $t^\prime$ ). Uiteraard hebben we $x^\prime(t)=\gamma(u)(x(t)-ut)$ en $t^\prime=\gamma(u)(t-ux(t)/c^2)$ . Hieruit zijn de snelheid $v^\prime$ en de versnelling $a^\prime$ in het stelsel $S^\prime$ te bepalen door gebruik te maken van de kettingregel voor het nemen van de $t^\prime$ afgeleide, $v^\prime=dx^\prime/dt^\prime=(dx^\prime(t)/dt)/(dt^\prime(t)/dt)$ en $a^\prime=dv^\prime/dt^\prime=(dv^\prime(t)/dt)/(dt^\prime(t)/dt)$ .

Opgave 7: Leidt nu zelf met bovenstaande de formules (4.32) en (4.36) af.

Het gaat hierbij om een versnelling die ieder moment in de richting van de snelheid u, de x-richting, plaats heeft. Het is zeker niet vanzelfsprekend dat dezelfde transformatie geldt voor een versnelling loodrecht op u. Hiertoe kiezen we nu in het stelsel S een beweging die beschreven wordt door y(t), zodat v_y=dy(t)/dt en a_y=dv(t)/dt, beide dus in de y-richting wijzende, hetgeen de reden is waarom we een index y gebruiken. Door transformatie naar het $S^\prime$ stelsel vinden we $\vec x^\prime(t)= (-ut\gamma(u),y(t),0)$ en $t^\prime=t\gamma(u)$ .

Opgave 8: Laat zien dat $\vec v^\prime=(-u,v(t)/\gamma(u),0)$ en dat $\vec a^\prime=(0,a(t)/\gamma^2(u),0)$ .

We zien dus dat de versnellingscomponent loodrecht op de richting van de snelheid u anders transformeert dan evenwijdig aan die richting!

Opgave 9: Bewijs voor een deeltje met een versnelling zowel in de x als de y richting, dat $a^\prime_x=a_x\gamma^{-3}(u)(1-v_xu/c^2)^{-3}$ en dat $a^\prime_y=a_y\gamma^{-2}(u)(1-v_xu/c^2)^{-2}+uv_y a_xc^{-2}\gamma^{-2}(u) (1-v_xu/c^2)^{-3}$ en dat dit overeenstemt met de twee specifieke gevallen die we hebben beschreven.

Bij pag. 20-21

Opgave 10: In vectornotatie (zie hoofdstuk 7 als U niet vertrouwd bent met deze notatie) luidt (4.41) $\vec x^\prime=\vec x+(\gamma-1)(\vec u\cdot \vec x)\vec u/u^2-\gamma\vec u t$ en $t^\prime=\gamma(t-\vec u\cdot\vec x/c^2)$ .Laat zien dat de oorsprong van het stelsel $S^\prime$ beschreven wordt door de eenparig rechtlijnige beweging $\vec x=\vec u t$ en dat een lichtstraal uitgezonden in een willekeurige richting, beschreven door $\vec x=\vec c t$ (met $\vec c\cdot\vec c=c^2$ ) ook beschreven wordt door $\vec x{}^\prime= \vec c{\,}^\prime t^\prime$ (met $\vec c{\,}^\prime\cdot\vec c{\,}^\prime=c^2$ ). Wat kunt U over de richting van de lichtstraal in het stelsel $S^\prime$ zeggen.

Opgave 11: Maak de opgaven op pag. 21.

Bij pag. 22-26

Op pag. 24 bij formule (4.59) staat dat dit een draaiing is met een hoek $\theta$ om de x-as. Uiteraard betreft het echter een draaiing om de z-as, met de wijzers van de klok mee (meestal noemen we dat dan een draaiing met een hoek $-\theta$ ).

Opgave 12: Bewijs formule (4.63) ook door inductie naar n. D.w.z. laat zien dat u₁=u (ja ja, de eerste stap in een inductiebewijs is altijd volledig triviaal) en dat uit de geldigheid van de formule voor u_n, die van u_n+1 volgt, voor willekeurige n. Hiertoe moet U dus de snelheden u_n en u ``relativistisch optellen'' en laten zien dat het resultaat door u_n+1 wordt gegeven. Mocht U nog niet weten wat een bewijs door inductie is, dan weet U dat nu!

De conclusie van pag. 26 dat niets zich sneller dan het licht kan voortbewegen lijkt in tegenspraak met wat in de astronomie bij quasars wordt waargenomen, waar gaswolken met grote snelheden worden uitgestoten. Er worden schijnbare snelheden gemeten die enkele malen groter dan de lichtsnelheid zijn. In de figuur is de situatie weergegeven. We stellen het tijdstip van de explosie in de quasar op t=0. We zien deze explosie op aarde op het tijdstip $t^\prime=d/c$ , waarin uiteraard d de afstand tot de quasar is. Als de gaswolk zich onder een hoek $\theta$ (met de gezichtslijn van de quasar) beweegt, dan bereikt het licht van de gaswolk de waarnemer verhoudingsgewijze eerder naarmate deze hoek dichter bij nul licht, eenvoudigweg omdat het licht een kleinere afstand af te leggen heeft om de waarnemer te bereiken. Deze vermindering in afstand bedraagd $vt\cos\theta$ , waarin t de tijd is die verstreken is sinds de explosie. De gaswolk wordt waargenomen op the tijdstip $t^\prime=t+(d-vt\cos\theta)/c$ . De waarnemer blijft de quasar uiteraard opdezelfde plaats aan de hemel zien (aannemende dat de eigenbeweging verwaarloosd kan worden). Voor de waarnemer is het verschil in tijd verstreken tussen het waarnemen van de explosie en het waarnemen van de verwijderende gaswolk $\Delta t^\prime=t(1+(v/c)\cos\theta)$ . De in die tijd door de gaswolk afgelegde transversale afstand bedraagt $L=vt\sin\theta$ , zodat het voor de waarnemer lijkt alsof de gaswolk de volgende snelheid heeft:

$\begin{displaymath} v_{obs}=L/\Delta t^\prime=\frac{v\sin\theta}{1-(v/c)\cos\theta}.\end{displaymath}$

Dit is dus een factor $1/(1-(v/c)\cos\theta)$ groter dan de transversale snelheid $v_{tr}=v\sin\theta$ . Deze transversale snelheid is kleiner dan de werkelijke snelheid, en dus zeker kleiner dan de lichtsnelheid. Nemen we als voorbeeld v=4c/5 en $\cos\theta=4/5$ , dan kunt U eenvoudig na rekenen dat v_obs=4c/3, en dus beduidend groter dan de lichtsnelheid.

Opgave 13: Laat zien dat voor vast gegeven v, $v_{obs}(\theta)$ maximaal is indien $\cos\theta=v/c$ en dat voor dit geval $v_{obs}=\gamma(v)v$ .Hoe groot moet de snelheid van de gaswolk minstens zijn om een schijnbare snelheid groter dan de lichtsnelheid waar te nemen?

$\begin{figure} \vspace{9cm} \hskip4.5cm \special{psfile=quasar.ps voffset=-80 hoffset=0 vscale=60.0 hscale=60.0}\end{figure}$

Uit dit voorbeeld zien we dat heel zorgvuldig geanalyseerd dient te worden wat we nu eigenlijk waarnemen, voordat we beweren dat er een tegenspraak is.

Bij pag. 27-30

In verg. (5.3) van het dictaat is in laatste term van de derde regel de x weggevallen, er moet staan $2\gamma^2 utx$ in plaats van $2\gamma^2 ut$ .

Opgave 14: Voer eerst een Lorentz transformatie in de x-richting en daarna een lorentz transformatie in de y-richting. Neem voor het gemak u gelijk voor beide transformaties. Laat zien dat er geen $\vec u$ bestaat zodanig dat deze combinatie van twee simpele Lorentz transformatie van de vorm is zoals gegeven in formule (4.41). (Het is een combinatie van zo'n Lorentz transformatie en een draaiing, maar dat hoeft U hier niet te laten zien.)

Bij pag. 31-35

Er zijn vele schijnbare tegenspraken die men met de relativiteitstheorie kan construeren. De nadruk ligt op het woord schijnbaar. Vaak blijkt dat men het begrip relativiteit te losjes pleegt te hanteren. U moet maar eens lezen wat Feynman daarover in zijn befaamde lectures zegt (Vol I, par. 16-1. Relativity and the philosophers).

Ik zal twee voorbeelden hier noemen. Laat een hardloper een polsstok van 4 meter lengte evenwijdig aan de grond dragen en stel dat hij zo hard loopt dat voor een stilstaande waarnemen de polsstok een contractie met een factor twee ondergaat. De stok past daarbij in z'n geheel in een schuur van 2 meter lengte, waar de hardloper net aan voorbij raast. Vanuit zijn perspectief wordt echter diezelfde schuur verkort met een factor 2, en is nu slechts één meter, zodanig dat zijn stok maar liefst 4 schuren nodig heeft om opgeborgen te worden. Het probleem is natuurlijk dat op het moment dat we de stok als waarnemer in de schuur zien passen, de uiteinden van de stok voor de hardloper zelf niet gelijktijdig met de uiteinden van de schuur samenvallen. Men moet zich goed afvragen wat het betekent dat de stok in de schuur past.

Een ander voorbeeld is dat van twee ruimteschepen die door een stevig stuk kabel aan elkaar bevestigd zijn. Zij krijgen vanuit de aarde de opdracht om gelijktijdig hun motoren te ontsteken. We gaan ervan uit dat ze precies dezelfde versnelling ondergaan op ieder moment van de tijd. Toch is de bewering dat de kabel (of een van de ruimteschepen) zal breken.

Opgave 15: Analyseer dit heel zorgvuldig aan de hand van een ruimte-tijd diagram.

$\begin{figure} \vspace{7cm} \hskip3.5cm \special{psfile=draai.ps voffset=-80 hoffset=0 vscale=50.0 hscale=50.0}\end{figure}$

Wat betreft de Lorentz contractie (op pag. 35, tweede regel boven verg. (6.9) is bij $x=\gamma^{-1}a$ uiteraard een accent weggevallen; er had moeten staan $x^\prime=\gamma^{-1}a$ ) is het opmerkelijk dat het 50 jaar geduurd heeft eer iemand zich heeft afgevraagd hoe men nu een object waarneemt als het met grote snelheid voorbij komt. Omdat een object ook een eindige afmeting in de richting loodrecht op die van de beweging heeft, die geen contractie ondergaat, zoudt U op het eerste gezicht verwachten dat het vervormd wordt. Maar laten we eens wat zorgvuldiger kijken, aannemende dat we daarbij op zeer grote afstand van het object staan zodat alle lichtstralen uitgaande van dat object ons oog vanuit dezelfde richting bereiken. Maar dat betekent dat delen die verder van de waarnemer af zijn, het waargenomen licht iets eerder uitzonden, dan de delen die het dichtste bij de waarnemer liggen. Dit is natuurlijk maar een heel klein tijdsverschil. Als het object een breedte B heeft bedraagt dit tijdsverschil $\Delta t=B/c$ . Echter als de snelheid dicht bij dit van het licht komt, dan heeft in die periode het object zelf bijna dezelfde afstand (in de richting van de snelheid) B afgelegd. We zien dus een verder afgelegen hoekpunt, a in de figuur, rechts van het corresponderende (maar dichterbij gelegen hoekpunt) b. Op het moment van waarnemen zien we (gelijktijdig) de ruimte-tijd gebeurtenissen corresponderende met $c^\prime$ , $b^\prime$ en a. Hierbij is dus de afstand $c^\prime-b^\prime$ door de lorentz contractie verkort tot $L^\prime=L/\gamma(u)$ en zien we de afstand $b^\prime-a$ als de afstand $B^\prime=u\Delta t=uB/c$ . Indien we nu de hoek $\theta$ invoeren, zodanig dat $u/c=\sin\theta$ , dan komen $L^\prime$ en $B^\prime$ precies overeen met de perspectivische verkorting van hetzelfde object (in rust), waargenomen onder een hoek $\theta$ met de oorspronkelijke bewegingsrichting. Dit opmerkelijke feit hangt uiteraard samen met het feit dat $1/\gamma(u)=\sqrt{1-u^2/c^2}=\cos\theta$ . Het werd voor het eerst beschreven door J. Terrell in 1959, in het tijdschrift Physical Review (vol. 116, pg. 1041).

Bij pag. 36-38

Voor de bespreking van de tweelingen paradox is het nodig om de eigentijd in te voeren. Deze wordt in het dictaat eerst abstract ingevoerd als een invariante afstand die in ieder stelsel hetzelfde is. Bovenaan pag. 37 wordt dit dan gerelateerd aan de tijd van een meereisende klok. Het is de met U meereisende klok die bepaald hoe oud U bent (hoe oud U zich voelt wordt door andere parameters bepaald). Het is vrij eenvoudig verg. (6.13) hieruit af te leiden. Deze formule is van belang voor een waarnemer die bijvoorbeeld wil voorspellen hoe veel ouder U bent geworden als U op t_a hem verlaat, om op t_b weer terug te keren. Als we de tijd tussen twee tikken van de klok klein kiezen (en dt is willekeurig klein), mogen we de snelheid tussen twee tikken constant veronderstellen, zodat de tijd $d\tau$ van de bewegende klok (Uw klok dus), verstreken tussen twee tikken van de klok van de waarnemer, gegeven wordt door $d\tau=dt/\gamma(v(t))$ . Al deze stukjes bij elkaar optellen (integreren) geeft verg. (6.13).

INTERMEZZO

De meest bekende paradox is die van de tweeling. De tegenspraak is alleen schijnbaar omdat slechts één van de tweelingen een versnelling zal ondergaan, die nodig is om terug te keren naar zijn beginpunt. Kennelijk is het zo dat een versnelling ook aanleiding geeft tot tijdsdilatatie. Versnelling is equivalent met zwaartekracht, of zoals Einstein het formuleerde, trage massa is gelijk aan gravitationele massa. Deels komt dit door de keuze van Newton's gravitatieconstante, maar het feit dat deze gelijkheid voor alle materie geldig is, maakt het tot een universele wet. Hierdoor kunnen we (lokaal) geen onderscheid maken tussen een vrij vallende lift en een intertiaalstelsel. De conclusie is dus kennelijk dat in een gravitatieveld klokken langzamer lopen. Dit kan met een heel eenvoudig voorbeeld geillustreerd worden. Om in een ruimtestation gravitatie te simuleren kan men het laten ronddraaien, zodanig dat in de woon- en werkruimtes de centrifugale versnelling precies gelijk is aan de gravitatieversnelling op aarde (dus ongeveer 10 m/s²). Vanuit een stilstaande waarnemer bezien, zeg iemand in het centrum van het ronddraaiende ruimtestation, waar geen centrifugale versnelling op treedt (dus waar de ``zwaartekracht'' nul is) bewegen de klokken in de woon- en werkruimten, bevestigd aan de roterende wand van het ruimtestation, met een snelheid die gelijk is aan $v=\omega r$ , waarin $\omega$ de hoeksnelheid is. Die klokken ondergaan dus een tijdsdilatatie met een factor $1/\sqrt{1-\omega^2 r^2/c^2}$ . Dit kan ook geschreven worden als $1/\sqrt{1-2V_\omega(r)/c^2}$ , waarin $V_\omega=\omega^2r^2/2$ precies de centrifugale potentiaal is, ofwel de arbeid die men per massa-eenheid verricht als men tegen de centrifugale potentiaal in van een woonruimte op de wand naar het midden van het ruimtestation reist (de centrifugale versnelling bedraagt $a_\omega(r)=\omega^2 r$ en $\int^r_0dr^\prime a(r^\prime) =\omega^2r^2/2$ ). Volgens Einstein is dit equivalent met een gravitatieveld. Het punt dat geen kracht ondervindt bevindt zich natuurlijk niet langer in het (graviterende) centrum, maar in oneindig. Immers Newton's gravitatiewet zegt dat de kracht afvalt omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand. Om de tijdsdilatatie in een gravitatieveld te berekenen kunnen we dus de centrifugale potentiaal vervangen door de gravitationele potentiaal (per eenheid van massa), V_grav=GM/r. We concluderen is dus dat de klokken in een gravitatieveld langzamer lopen en dat de tijdsdilatatie gegeven wordt door $1/\sqrt{1-2GM/(rc^2)}$ . Dit is precies het resultaat dat men kan afleiden uit Einstein's algemene relativiteitstheorie. Merk op dat bij r=2GM/c² de klok stil komt te staan. Deze straal, tegenwoordig bekend als de Schwarzschild straal, is ook de straal waar de ontsnappingsnelheid precies gelijk aan de lichtsnelheid is. Laplace had zich al gerealiseerd dat een ster mogelijk zo compact kon worden dat licht niet van haar oppervlak kan ontsnappen. Hij noemde dit zwarte sterren. Nu noemen we het zwarte gaten. Doordat de tijd bij de Schwarzschild straal stil staat (het oppervlak dat daarmee correspondeert heet de horizon) kan niets uit het inwendige ontsnappen. Het lijkt alsof er een gat in de ruimte-tijd zit.

We kunnen eigentijd ook definiëren als er krachten op een object werken, zolang de eigentijd maar gedefinieerd wordt als de tijd gemeten in een lokaal lorentzstelsel. Dat betekent strikt gesproken dat onze standaard tijd een heel kleine correctie behoeft om de eigentijd uit af te leiden.

Opgave 16: Hoeveel jonger zijn we na 10 jaar dan onze tweeling, die vrij in de ruimte zweeft.

Onder aan pagina 38 van het dictaat wordt gezegd dat het tijdsdilatatie effect te klein is om de tweelingenparadox rechtstreeks experimenteel te bevestigen. Echter al in 1971 hebben de amerikanen Hafele en Keating dit huzarenstukje wel degelijk voor elkaar gekregen door met een Cesiumklok als medepassagier een vliegreis (gewoon met een lijnvliegtuig!) om de aarde te maken, zowel in westelijke als in oostelijke riching. Door de twee richtingen te nemen kan men effecten t.g.v. het gravitatieveld en de draaiing van de aarde nauwkeurig aftrekken van het resultaat en heeft men op een netto vliegtijd van bijna 100 uur (dat kan tegenwoordig toch heel wat sneller) een tijdsverschil gemeten van ongeveer 150 nanoseconden, in goede overeenstemming met de speciale relativiteitstheorie. Bij deeltjesversnellers is het dagelijkse kost deze tijdsdilatatie op een juiste manier mee te nemen, anders zouden de versnellers niet eens werken!

Bij pag. 39-42

Het Doppler-effect wordt in het dictaat afgeleid door te laten zien hoe een monochromatische golfbeweging, die de amplitude van de golf op ieder tijdstip in ruimte en tijd geeft, transformeert. Er wordt voor de eenvoud aangenomen dat die amplitude zelf in ieder inertiaalstelsel hetzelfde is. Voor een lichtgolf, die bestaat uit electromagnetische golven zult U later in de studie leren dat dit niet het geval is. De amplitude van een lichtgolf wordt beschreven door een electrisch (en een daarmee in tegenfase zijnde magnetisch) veld. Electrische en magnetische velden transformeren niet triviaal onder een Lorentz transformatie. Echter, ook een electromagnetische golf beschrijft een trilling waaraan een golflengte en een frequentie kan worden toegekend. Deze trilling hangt van plaats en tijd af via de combinatie $kx-\omega t$ (voor een vlakke golf in de x-richting) of in het algemeen van de combinatie $\vec k\cdot\vec x-\omega t=\sum_{i=1}^3k_ix_i-\omega t$ (voor een golf in een willekeurige richting $\vec k$ ). Bij de transformatie naar een ander inertiaalstelsel zal in het algemeen de amplitude van de golf op een niet triviale wijze transformeren, maar deze transformatie is op ieder punt langs de golf dezelfde. In het getransformeerde stelsel manisfesteert de golf zich weer als een golf, afhangende van plaats en tijd via de combinatie $\vec k{\,}^\prime\cdot\vec x{\,}^\prime-\omega^\prime t^\prime=\vec k\cdot \vec x-\omega t$ . Omdat we weten hoe $\vec x$ en t onder een Lorentz transformatie transformeren, kunnen we bepalen hoe $\vec k$ en $\omega$ transformeren, zoals afgeleid in het dictaat, zie verg. (6.19). In deze vergelijking is per ongeluk een accent bij de transformatie van $\omega$ weggevallen. (Ook in verg. (6.20) moet U voor de eerste gelijkheid $k^\prime= \gamma(k-uk/c)$ lezen; in het dictaat is een k weggevallen. Verder is in verg. (6.21) een factor $\gamma$ in de tweede gelijkheid weggevallen, er geldt $\omega^\prime=ck\gamma(1-u/c)$ .) Voor een golfbeweging in een willekeurige richting $\vec k$ (onder een hoek $\theta$ met de x-richting) en een Lorentz transformatie (met een snelheid u in de x-richting) geldt dus

$\begin{displaymath} k_x^\prime=\gamma(u)(k_x-u\omega/c^2),\quad k_y^\prime=k_y,\... ...\prime=\gamma(u)(\omega-uk_x)=\gamma(u)(1-u\cos \theta/c)\omega\end{displaymath}$

Opgave 17: Controleer dat $\vec k{\,}^\prime\cdot\vec x{\,}^\prime- \omega^\prime t^\prime=\vec k\cdot\vec x-\omega t$ .

We kunnen nu eenvoudig het Doppler-effect bepalen voor een golf langs de x-as (dus in de richting van de relative beweging tussen bron en waarnemer), of dwars daarop. Laten we eerst het laatste geval bestuderen; we spreken dan van een transversaal Doppler-effect. Omdat nu $\vec k$ loodrecht staat op de bewegingsrichting (de x-richting) geldt k_x=0, zodat $\omega^\prime=\gamma(u)\omega$ . Onder een Galilei transformatie zou de factor $\gamma(u)$ afwezig zijn, en in de Newtonse theorie is er geen transversaal Doppler-effect. We zien dus op dat voor een transversaal bewegende bron (of waarnemer) de waargenomen frequentie groter is dan in het ruststelsel.

Het Doppler-effect kan ook fysisch verklaard worden door op te merken dat de tijd $\Delta t$ tussen twee golfdalen precies als de duur van een tik van een klok gezien kan worden. Voor een bewegende bron nemen we een langzamer verlopende tijd waar, aanleiding gevende tot een langere periode $\Delta t^\prime=\gamma\Delta t$ tussen twee golfdalen. Maar als de bron (waarnemer) zich ook nog eens met een snelheid u van de waarnemer (bron) af beweegt, dan doet een tweede golfdal er $u\Delta t^\prime/c$ langer over om aan te komen. Immers de bron (waarnemer) heeft tussen twee tikken een afstand $u\Delta t^\prime$ afgelegd, en de golf doet er $u\Delta t^\prime/c$ seconden over om die extra afstand te overbruggen. Als de beweging tussen bron en waarnemer niet langs de richting van waarneming plaats vindt, maar onder een hoek $\theta^\prime$ daarmee, dan is de extra tijd tussen twee tikken uiteraard $u\Delta t^\prime\cos\theta^\prime/c$ . We vinden derhalve

$\begin{displaymath} \Delta t^\prime=\gamma(u)(1+u\cos\theta^\prime/c)\Delta t\end{displaymath}$

Met een cirkelfrequentie $\omega=2\pi\nu$ , bepaald door $2\pi/\Delta t$ , volgt

$\begin{displaymath} \omega^\prime=\omega/\left[\gamma(u)(1+u\cos\theta^\prime/c)\right].\end{displaymath}$

Voor $\theta=0$ vinden we nu het resultaat in het dictaat: als de bron met een snelheid u van de waarnemenr af beweegt wordt de frequentie kleiner met een factor $\sqrt{(c-u)/(c+u)}$ . De golflengte wordt dus groter en we spreken van een roodverschuiving). Maar voor het transversale Doppler-effect vinden we nu dat de frequentie eveneens kleiner wordt, terwijl we eerder het omgekeerde hadden geconcludeerd.

Dat kan natuurlijk niet. Wat is hier in godsnaam aan de hand zult U zich afvragen. De oplossing zit hem wederom in het feit dat we ons heel goed moeten afvragen wat we meten. In de eerste afleiding van het transversale Doppler-effect is de hoek $\theta$ de hoek met de bewegingsrichting in het stelsel waarin de bron in rust is. In de tweede afleiding, bezien vanuit het standpunt van de waarnemer, is $\theta^\prime$ de hoek voor de richting waaruit het signaal afkomstig is, in het stelsel waarin de waarnemer in rust is. Als de relatieve beweging tussen bron en waarnemer in de signaalrichting plaats vindt dan zijn die hoeken uiteraard gelijk ( $\theta=\theta^\prime=0$ ). Bij het transversaal Doppler-effect is dit niet het geval.

Opgave 18: Gegeven dat beide uitdrukkingen voor de transformatie van $\omega$ , $\omega^\prime=\omega\gamma(u)(1-u\cos\theta/c)$ en $\omega^\prime=\omega/[\gamma(u)(1+u\cos\theta^\prime/c)]$ , correct zijn. Laat zien dat $\cos\theta^\prime=(\cos\theta-u/c)/(1-u\cos\theta/c)$ .

Dit heet (relativistische) aberratie, welbekend uit de sterrenkunde, waar de varierende richting van de beweging van een aardse waarnemer door draaiing van de aarde om de zon (en in mindere mate door de draaiing om haar as) tot kleine schommelingen in de positie van de sterren aanleiding geeft (de maximale afwijking bedraagt iets meer dan 20 boogseconden).

Merk op dat $\omega^\prime=\omega/\left[\gamma(u)(1+u\cos\theta^\prime/c) \right]$ ook geschreven kan worden als $\omega=\gamma(u)(1+u\cos\theta^\prime/ c)\omega^\prime$ , Dit is precies de inverse transformatie van $S^\prime$ naar S, in plaats van S naar $S^\prime$ . Juist deze inverse transformatie is relevant als we uitgaan van de situatie van de waarnemer! Er zijn maar weinig leerboeken die bij het transversaal Doppler-effect aandacht besteden aan de vraag wat we nu precies met transversaal bedoelen. Dat is waarom we er hier wat uitvoeriger op ingaan. Altijd weer moeten we ons vragen wat het meetproces is. Dus eerst denken, dan rekenen.

Het relativistische Doppler-effect, inclusief het transversale effect, werd al in 1938 nauwkeurig gemeten door Ives en Stilwell. In de jaren '60 is dit nog eens overgedaan, gebruik makende van een in het centrum van een roterende cilinder opgestelde bron van gammastraling met een zogenaamd resonant Mössbauer absorberend materiaal op de wand van de cilinder. Het Mössbauer effect is gebaseerd op het feit dat in een vaste stof bij absorbtie van de (gamma)straling de terugstoot verdeeld wordt over het hele materiaal (door de binding van het atoom aan de rest). Hierdoor kan de energie van het foton heel nauwkeurig worden vastgelegd (er is geen verbreding van de absorbtielijn, zoals bij losse atomen in een gas).

INTERMEZZO

Als we nu terugdenken aan ons roterend ruimtestation, dan zien we dat het transversale Doppler-effect een eenduidige relatie met de zogenaamde gravitationele roodverschuiving heeft. Straling afkomst van een ster heeft een kleine roodverschuiving door het gravitatieveld van de ster. Evenzo is licht dat op het aardoppervlak wordt uitgezonden en boven in een hoge toren wordt waargenomen, ook een heel klein beetje naar het rood verschoven. Dit is de basis van een van de klassieke tests geweest van Einstein's algemene relativiteistheorie, zoals uitgevoerd door Pound en Rebka in 1960. Ook hier werd van het Mössbauer effect gebruik gemaakt. Bron en detector waren op een hoogte van 21,6 meter ten opzichte van elkaar opgesteld. Pound en Rebka waren in staat de voorspelde verschuiving, $\Delta\omega/\omega=2,56\times 10^{-15}$ te meten! (Probeer de grootte van dit effect zelf na te rekenen).

Bij pag. 43-49

In hoofstuk 7 worden vectornotatie, het begrip inwendig product (kortweg inproduct) van twee vectoren en het begrip lengte van een vector ingevoerd. De rotatie in vergelijking (7.1) is met de wijzers van de klok mee (wellicht bent U gewend zoiets een draaiing over een hoek $-\theta$ te noemen. Merk ook op dat in verg. (7.3) het wortelteken is weggevallen). De componenten van 4-vectoren in de Minkowski ruimte-tijd, zoals (x₀,x₁,x₂,x₃) (met x₀=ct) worden bijna zonder uitzondering in de literatuur met een Griekse index ( $x_\mu$ ) aangeduid, zodat het Lorentz invariante inwendige procuct van twee 4-vector $\underline{x}$ en $\underline{y}$ gegeven wordt door

$\begin{displaymath} \underline{x}\cdot\underline{y}=\sum_{\mu =0}^3 x_\mu y^\mu=\sum_{\mu=0}^3 x^\mu y_\mu\end{displaymath}$

waarbij we de notatie van een bovenindex hebben ingevoerd,

$\begin{displaymath} (y^0,y^1,y^2,y^3)=(y_0,-y_1,-y_2,-y_3), \quad (x^0,x^1,x^2,x^3)=(x_0,-x_1,-x_2,-x_3).\end{displaymath}$

Bij het vormen van een inwendig product sommeert men dus over de componenten van de twee 4-vectoren, waarbij de ene 4-vector de index boven en de andere de index beneden heeft (het maakt niet uit welke van de twee 4-vectoren we de index boven of beneden geven). Zo'n sommatie komt zo vaak voor dat ik U niet wil onthouden wat Einstein wel gekscherend zijn belangrijkste ontdekking heeft genoemd, namelijk de sommatieconventie.

De sommatieconventie: over twee gelijke indices, waarvan een boven en een onder, wordt automatisch gesommeerd.

Dit voorkomt veel schrijfwerk en komt zo vaak voor dat het de voorkeur verdient in de paar gevallen dat sommatie niet plaats dient te vinden, dit expliciet te vermelden.

Op pagina 49 worden de begrippen tijdachtige, lichtachtige en ruimteachtige vectoren ingevoerd. Een lichtachtige vector volgt altijd een lichtstraal. Het is een fundamenteel uitgangspunt van de relativiteitstheorie dat dit in ieder stelsel het geval is (het lichtpostulaat). Even fundamenteel is dat voor een tijdachtige vector er altijd een inertiaalstelsel te vinden is waarvoor de ruimtelijke componenten van de 4-vector gelijk aan nul zijn. Evenzo kan voor een ruimteachtige vector $\underline{a}$ altijd een stelsel gevonden worden waarvoor de tijdscomponent gelijk aan nul is. In zo'n stelsel kan men met recht over de lengte van de vector spreken, die dus in een willekeurig stelsel gedefinieerd kan worden door $\sqrt{-\underline{a}\cdot \underline{a}}$ .

Opgave 19: Geef een bewijs van de uitspraken gedaan in bovenstaande paragraaf.

Uit de bespreking van het Doppler-effect op pag. 39-42 is eenvoudig af te leiden dat we met golfvector en cirkelfrequentie een 4-vector kunnen samenstellen. Transformatie regels werden afgeleid door te eisen dat $\vec k\cdot\vec x-\omega t$ onveranderd blijft onder een Lorentz transformatie.

Opgave 20: Laat zien dat $\underline{k}=(\omega/c,k_x,k_y,k_z)$ transformeert als een 4-vector onder Lorentz transformaties.

De golf-4-vector speelt een belangrijke rol, omdat uit vele experimenten, al voor de formulering van de relativiteitstheorie. bekend was dat licht naast een golfkarakter ook een deeltjeskarakter heeft. Het bijbehorende deeltje werd een foton genoemd. Hoewel het niet tot stilstaan gebracht kan worden (immers de lichtsnelheid is in ieder stelsel gelijk aan c), manifesteert het zich wel als een deeltje met een energie $E=h\nu=\hbar\omega$ en een impuls $\vec p=\hbar\vec k$ . Hierin is $\hbar=h/(2\pi)$ en h de constante van Planck. Deze had h ingevoerd om tot een correcte beschrijving van de thermische straling te komen. Einstein heeft h in zijn bestudering van het fotoelectrische effect geïnterpreteerd als de constante die nodig is om te verklaren dat licht dat op een kathode valt slechts electronen met een heel bepaalde energie ( $E=h\nu$ ) vrijgemaakt. Het was hiervoor, en niet voor de relativiteitstheorie, dat Einstein in 1922 de Nobelprijs kreeg. De stralingsdruk kon nu gezien worden als de impulsoverdracht door deze lichtdeeltjes (een lichtbundel kan gezien worden als een stroom van lichtdeeltjes). Deze impuls is precies $\hbar\vec k$ (in grootte dus gelijk aan $h/\lambda$ ).

Bij pag. 50-58

Kennelijk geldt voor een foton E=cp. We kunnen dan verwachten dat begrippen als energie en impuls ook enige aanpassing behoeven, omdat de kinetische energie van een massief deeltje gegeven wordt door $E_{kin}={\scriptstyle{{1\over 2}}} p v$ . De vraag is echter of we aan een foton wel een massa kunnen toekennen. De massa wordt voor een gewoon deeltje gedefinieerd door de wet van Newton, die uitspraken doet over de toename van de snelheid met de werking van een kracht. Bij een foton zal de snelheid altijd die van het licht zijn. Zonder toename van snelheid geen massa. Anderzijds kan massa ook bepaald worden door energieverlies in een gravitatieveld en als een foton een energie heeft zou er geen reden zijn om geen energieverlies te ondergaan. Een deel van de afbuiging van het licht van een ster aan de zon bij een zonsverduistering (een andere belangrijke test van de algemene relativiteitstheorie) kan aldus verklaard worden. Inderdaad hebben we bij het transversaal Doppler-effect gezien dat er ook een gravitationeel Doppler-effect is waarbij de frequentie van licht dat uit een gravitationele put moet klimmen afneemt, zodanig dat ook de energie afneemt, immers $E=h\nu$ .

Als er één natuurkundige wet is die iedere leek kent, dan is het wel de beroemde wet van equivalentie tussen massa en energie

E=mc².

Er is een eenvoudig gedachtenexperiment waarmee Einstein deze equivalentie aantoonde, zoals in de figuur weergegeven. Er wordt een foton verzonden aan de linker kant van een doos, dat aan de rechter kant wordt geabsorbeerd. Door de terugstoot van het uitgezonden foton, dat een impuls $E/c=\hbar\omega/c$ heeft, krijgt de doos een kleine snelheid naar links, bepaald door de eis dat impuls behouden blijft, dus v=-E/(cM). Hierin is M de massa van de doos en we mogen gevoeglijk aannemen dat v te verwaarlozen is t.o.v. de lichtsnelheid. Op het moment dat het foton wordt geabsorbeerd, wordt de terugstoot weer teniet gedaan en komt de doos tot stilstand. Intussen heeft de doos zich echter wel over een afstand x=vt=vL/c verplaatst, waarbij L de lengte van de doos is. Dus de doos heeft zich over een afstand x=-EL/(Mc²) verplaatst, maar omdat op de doos geen uitwendige krachten werken moet het zwaartepunt van de doos op zijn plaats blijven. Het foton is van links naar rechts gegaan, en heeft in ieder geval energie getransporteerd. Voor een kogel zou er ook massa verplaatst zijn. Kennelijk moeten we aan een foton ook een trage massa toekennen, die er voor zorgt dat het zwaartepunt op zijn plaats blijft. Als we de massa van het foton m noemen dan is de verplaatsing van het zwaartepunt mL+Mx. Uit de eis dat het zwaartepunt op zijn plaats moet blijven volgt mL+Mx=0, en we vinden m=E/c²!

$\begin{figure} \vspace{6cm} \hskip3.5cm \special{psfile=einstein.ps voffset=-210 hoffset=0 vscale=55.0 hscale=55.0}\end{figure}$

Omgekeerd correspondeert massa met energie, en is dus de conclusie dat zelfs een deeltje in rust een energie heeft. Omdat c zo groot is, is die energie gigantisch en ligt E=mc² aan de basis van het verkrijgen van energie uit kernreacties, zowel bij fusie als bij splijting. Anderzijds, als we een deeltje een snelheid v geven neemt zijn energie toe. Naast de rustenergie mc² komt er de kinetische energie bij, $E=mc^2+{\scriptstyle{{1\over 2}}}m v^2$ . Deze energie vertegenwoordigt op zijn beurt een massa $m(v)=(1+{\scriptstyle{{1\over 2}}}v^2/c^2)m$ . We hebben al vaker gezien dat de Newtonse wetten alleen geldig zijn bij kleine snelheden, zodat we verwachten dat de formule voor m(v) alleen geldig is voor snelheden klein t.o.v. de lichtsnelheid. Tot in laagste orde komt bovenstaande resultaat overeen met $m(v)=\gamma(v)m$ . Deze formule is juist daarom acceptabel omdat het verklaart waarom een deeltje niet sneller dan de lichtsnelheid kan gaan. De trage massa m(v) wordt steeds groter met toenemende snelheid en gaat bij nadering van de lichtsnelheid naar oneindig, zodanig dat een versnelling alleen nog maar ten goede komt aan de toenemende massa m(v) maar niet meer aan een toenemende snelheid.

Een eenvoudig bewijs van deze formule voor m(v) kan gegeven worden door gebruik te maken van het feit dat de impuls en de energie behouden moet blijven bij een botsing. Men heeft wel eens geprobeerd deze behoudswetten omver te werpen. Vooral bij het beta (of radioactieve) verval zat men lange tijd met het probleem dat impuls- en energiebehoud met elkaar in tegenspraak waren, totdat Pauli op het idee kwam dat dit wel eens zou kunnen komen doordat men blind was voor een extra deeltje dat bij het vervalsproces betrokken was, namelijk het neutrino. Dit heeft zulke zwakke interacties met andere materie (het heeft geen rustmassa, zodat het zich altijd met de lichtsnelheid voort beweegt en het heeft geen electrische lading), dat we het niet zien. Er is een belangrijke reden om behoud van energie en impuls als onschendbare wetten te beschouwen. Ze zijn een consequentie van het feit dat ruimte en tijd homogeen zijn. We nemen aan dat de natuurwetten invariant zijn onder translatie in ruimte en tijd. (Evenzo volgt uit de isotropie van de ruimte, oftewel de invariantie onder een draaiing, dat het impulsmoment behouden moet zijn.) We bekijken nu de botsing van twee identieke deeltjes met massa m en exact tegengestelde snelheden w. De deeltjes zijn voorzien van zeer sterke kleefpasta, zodanig dat ze niet meer los van elkaar kunnen komen en dus na de botsing als één deeltje stil blijven liggen. Immers de totale impuls voor de botsing was nul. We nemen aan dat er geen wrijving is opgetreden en dat bij het aan elkaar kleven geen warmte wordt geproduceerd. We gaan nu over van het zwaartepuntstelsel naar het ruststelsel van één van de twee deeltjes (zie de figuur). Klassiek zou het andere deeltje nu een snelheid 2w hebben, maar uit het relativistisch optellen van de snelheden volgt dat in dit nieuwe stelsel het andere deeltje beweegt met een snelheid v=2w/(1+w²/c²). We noemen de nader te bepalen massa m(v). Na de botsing hebben de twee samenklittende deeltjes een snelheid w en een massa M(w) (immers het zwaartepuntstelsel heeft een snelheid w t.o.v. het nieuwe stelsel). Uit behoud van energie en impuls volgt

$\begin{displaymath} m(v)c^2+mc^2=M(w)c^2,\quad m(v)v=M(w)w.\end{displaymath}$

$\begin{figure} \vspace{4cm} \hskip4.5cm \special{psfile=botsing.ps voffset=-240 hoffset=0 vscale=55.0 hscale=55.0}\end{figure}$

Uit deze twee vergelijkingen kunnen we M(w) elimineren, waartoe we de vergelijking voor energiebehoud met w/c² vermenigvuldigen, (m+m(v))w= M(w)w. Dit substituren in de vergelijking voor impulsbehoud geeft dus (m(v)+m)w=m(v)v. Samen met v=2w/(1+w²/c²) volgt dus (ga na!)

$\begin{displaymath} m(v)=m\frac{(1+w^2/c^2)}{(1-w^2/c^2)}=\gamma(v)m.\end{displaymath}$

Hoewel we dit resultaat hebben verkregen zonder te bepalen wat M(w) in werkelijkheid is, is het toch interessant deze te berekenen.

Opgave 21: Laat zien dat M(w)=m(v)v/w=2m/(1-w²/c²) en dat in het zwaartepuntstelsel $M=2\gamma(w)m$ . Verklaar kwalitatief en kwantitatief de reden voor het verschil tussen M en 2m.

We hebben nu gezien dat E=m(v)c² en $\vec p=m(v)\vec v$ en het ligt voor de hand om het te combineren in een 4-vector, genoemd de 4-impuls met p₀=E/c (onderaan pag. 55 moet twee keer p₀/c gecorrigeerd worden in cp₀). Dit in analogie met de situatie voor het foton. In hoofdstuk 8 wordt aangetoond dat deze 4-vector zich onder Lorentz transformaties op de juiste manier gedraagt. Dat dit geen verrassing is volgt uit het feit dat de lengte van deze tijdachtige 4-vector precies de rustmassa maal de lichtsnelheid is, een resultaat dat onafhankelijk is van het stelsel (dus van de snelheid v). Het stelsel waarin de ruimtelijke componenten verdwijnen is natuurlijk precies het lokale inertiaalstelsel, dat ook gedefinieerd is in aanwezigheid van gravitatiekrachten.

Opgave 22: Laat zien dat $\underline{p}\cdot\underline{p}=p_\mu p^\mu= m^2c^2$ en dat voor een foton ( $\underline{p}=\hbar\underline{k}$ ) dit leidt tot de uitspraak dat het geen rustmassa bezit.

Bij pag. 59-68

In dit deel van het dictaat wordt gekeken naar de beweging van een geladen deeltje in een electrisch en magnetisch veld, beschreven door de Lorentz kracht, zie verg. (9.1). Relativistisch kan de bewegingsvergelijking samengevat worden door (zie (9.33) en (9.37))

$\begin{displaymath} d\vec p/dt=\vec F\end{displaymath}$

Het is opmerkelijk dat in ieder stelsel $\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B/c)$ .(In de vierde regel van onder op pag. 60 van het dictaat is de factor 1/c weggevallen.) Bij het college Electromagnetisme II zal dit duidelijk worden. Men zal zich nu terecht afvragen wat de situatie is voor een willekeurige kracht $\vec F$ .Merk op dat $dp_0/dt=\vec v\cdot\vec F/c$ (verg. (9.37)) op pag. 61-62 wordt afgeleid uit $d\vec p/dt=\vec F$ zonder iets aan te nemen over de kracht en dus is deze vergelijking ook geldig voor een andere dan de Lorentz kracht.

Een van de postulaten van de relativiteitstheorie, bevat in de definitie van een intertiaalstelsel, is dat een deeltje waar geen krachten op werken zich eenparig rechtlijnig voortbeweegt, dus met constante snelheid. Is nu $\vec F$ een willekeurige andere kracht, dan kunnen we de Lorentz kracht (als het object waarop de kracht werkt neutraal is geven we het voor het gemak een lading) zodanig kiezen dat in het ruststelsel de krachten precies in balans zijn. Maar als het in één stelsel in balans is, dan ook in alle andere stelsels. Dus $d\vec p/dt=\vec F$ is waar voor iedere kracht, zolang we ons maar realiseren dat $\vec p=m(v)\vec v$ . Opmerkelijk is dat in feite Newton zelf zijn wet al formuleerde als kracht is de verandering van impuls.

Voor een willekeurige kracht kunnen we dus de 4-vector $\underline{K}$ met de componenten

$\begin{displaymath} K_i=\gamma(v) F_i,\quad K_0=\gamma(v)\vec v\cdot\vec F/c\end{displaymath}$

vormen, zodat

$\begin{displaymath} d\underline{p}/d\tau=\underline{K}\end{displaymath}$

de relativistische bewegingsvergelijking is.

Tenslotte merken we nog op dat we de transformatie regels van een kracht ook kunnen afleiden uit het feit dat in het lokale Lorentz stelsel de wet van Newton geldig is en door gebruik te maken van de transformaties van de versnelling. Daarbij moet men wel rekening houden met het feit dat het lokale Lorentz stelsel verandert als functie van de tijd, door de veranderende snelheid bij een versnelling.

De beweging in een constant electrisch en magnetisch veld slaan we dit jaar over, omdat dit terugkomt in het college Electromagnetisme II. Voor "de leering en de vermaak" merken we nog op dat voor het geval van de beweging in een constant electrisch veld (dat dus met een constante kracht overeenkomt), men eenvoudig kan laten zien dat [1+(x(t)-x(0))f]²-[ctf]²=1, waarbij f=qE/(mc²). Dit is de baan van een hyperbool in het (x,t) vlak, met asymptoot x(t)=x(0)+ct. (Volgens Newton zou deze baan uiteraard een parabool vormen.) Voor het geval van een constant magnetisch veld weet U ongetwijfeld al van de middelbare school dat volgens de Newtonse mechanica het geladen deeltje een cirkelbeweging uitvoert met een hoekfrequentie gegeven door $\omega=qB/(mc)$ , de zg. Larmor frequentie. Relativistisch verandert daar niets aan, zolang we de massa maar vervangen door m(v), dus $\omega=qB/(m(v)c)$ .

EINDE