Antwoord 23: De versnelling $\vec a$, dus de verandering van de snelheid per tijdseenheid, is gegeven door $\vec a=q\vec v\times\vec B/(cm(v))$. Deze vector staat zowel loodrecht op $\vec v$ als loodrecht op $\vec B$. Maar als $\vec B$ in de z-richting wijst, $\vec B\equiv(0,0,B)$, dan staat de versnelling dus loodrecht op deze z-richting en is dus dvz(t)/dt=0. Indien nu vz=0 op t=0, dan geldt dit voor alle tijden. In het algemeen als $v_z\neq 0$ op t=0 dan blijft vz constant in de tijd - dat hebben we verderop nodig. Nemen we nu vz=0, dan is de beweging in een vlak loodrecht op de z-as, dus loodrecht op het magnetisch veld. We zagen al eerder dat versnelling $\vec a$ ook loodrecht op de snelheid $\vec v$ is. Omdat $\vec v$ (met vz=0) zelf loodrecht op $\vec B$ staat is de grootte van de versnelling gelijk aan a=qvB/(cm(v)), waarbij zoals gewoonlijk $v=\vert\vec v\vert$. Als U daar niet zeker van bent, gebruik dan verg. (8.37) met $\vec a=\vec v=(v_x,v_y,0)$ en $\vec b=\vec B=(0,0,B)$, zodat $\vec v\times \vec B=(v_yB,-v_xB,)$, en dus $\vert\vec v\times\vec B\vert=B(v_x^2+v_y^2)^{\scriptstyle{{1\over 2}}}=vB$. Omdat we eerder in de syllabus al hadden afgeleid dat de grootte van de snelheid constant is, is dit precies de conditie voor een cirkelbeweging, die bepaald wordt door een constante versnelling loodrecht op de constante omloopsnelheid. Deze omloopsnelheid is gelijk aan de straal r maal de hoeksnelheid $v=\omega r$, terwijl de centrifugale versnelling is in everwicht met de versnelling $a=\omega^2 r$ is. Hieruit kunnen we zowel de Larmor frequentie als straal oplossen: $\omega=a/v=qB/(cm(v))$ en r=v2/a=vcm(v)/(qB). Als tenslotte $v_z(t=0)\neq 0$, dan ontbinden we $\vec v$ in een vector $\vec v_p$ parallel aan $\vec B$ en een vector $\vec v_t$ loodrecht daarop (de index t staat voor transversaal). Dus $\vec v_p=(0,0,v_z)$ en $\vec v_t=(v_x,v_y,0)$. We zien echter eenvoudig in dat het uitwendig product van twee evenwijdige vectoren altijd nul is, zodat $\vec v\times\vec B=\vec v_t\times\vec B$. De versnelling staat dus nog steeds loodrecht op de z-as. De grootte van de versnelling is nu a=qvtB/(cm(v)). De beweging kan dus ontbonden worden in een constante beweging met snelheid vz in de z-richting en cirkelbeweging in het x-y-vlak, met als hoekfrequentie $\omega=a/v_t=qB/(cm(v))$ en als straal r=vt2/a=vtcm(v)/(qB). Dit is dus een spiraalbeweging. De hoekfreqentie hangt in het niet-relativistische geval (waar we m(v)=m stellen) niet van de snelheid af en in het relativistische geval alleen maar van de grootte van de totale snelheid. Dit zijn belangrijke resultaten waarmee men in de astro- en plasmafysica uit de remstraling informatie kan verkrijgen over de grootte van het magneetveld en de snelheden van de geladen deeltjes.