Antwoord 19: Voor een lichtachtige vector geldt dat $\underline{a}\cdot \underline{a}=0$. Omdat omder een Lorentz transformatie $\underline{a}\cdot \underline{a}$ niet verandert, wordt een lichtachtige vector onder een Lorentz transformatie op een lichtachtige vector afgebeeld. Voor een tijdachtige vector geldt $\underline{a}\cdot\underline{a}\gt$. Hieruit volgt dat $a_0\neq 0$ en dat $\vec u=c\vec a/a_0$ gebruikt kan worden als de snelheid in een Lorentz transformatie, $\vec u\cdot\vec u<c^2$. De Lorentz transformatie lezen we af uit verg. (4.41), door (ct,x,y,z) te vervangen door (a0,a1,a2,a3). In de vectornotatie van opgave 10 geldt dus $\vec a{\,}^\prime=\vec a+(\gamma-1) (\vec u\cdot\vec a)\vec u/u^2-\gamma \vec u a_0/c$ en $a_0^\prime=\gamma(a_0- \vec u\cdot\vec a/c)$. Met $\vec u=c\vec a/a_0$ volgt nu eenvoudig dat $\vec a{\,}^\prime=0$ en $a_0^\prime=\gamma\underline{a}\cdot\underline{a}/a_0$.Als check gaat men na dat inderdaad $(a_0^\prime)^2=\underline{a^\prime}\cdot \underline{a^\prime}=\underline{a}\cdot\underline{a}$. Voor een ruimteachtige vector geldt $\underline{a}\cdot\underline{a}<0$, hetgeen impliceert dat $\vec a\cdot\vec a\neq 0$. We willen nu de Lorentz transformatie vinden waarvoor $a_0^\prime=0$. Kennelijk moet dus gelden $\vec u\cdot\vec a=c a_0$. Een oplossing wordt gegeven door $\vec u=c a_0\vec a/(\vec a\cdot\vec a)$. Deze snelheid is inderdaad kleiner dan de lichtsnelheid, omdat $a_0^2<\vec a\cdot \vec a$. Merk op dat in dit geval $\vec u$ niet uniek is; we kunnen er een willekeurige snelheid, loodrecht op $\vec a$, bij op tellen (zolang $\vec u \cdot\vec u<c^2$). Dit hangt samen met het feit dat als we eenmaal $a_0^\prime= 0$ hebben, een Lorentz transformatie met een snelheid loodrecht op $\vec a{\,}^\prime$, niets verandert aan $\underline{a^\prime}$. We kunnen $\vec a{\,}^\prime$ vergelijken met een meetlat, en het onveranderd blijven van $\vec a{\,}^\prime$ is equivalent met het feit dat een meetlat geen contractie ondervindt loodrecht op de bewegingsrichting.