Antwoord 11: De eerste van deze twee opgaven vraagt te laten zien dat uit de Lorentz transformatie met een snelheid $\vec u$ in een willekeurige richting (zie verg. (4.41) en opgave 10) de speciale Lorentz transformatie voor u een snelheid in de x-richting volgt. We hebben uy=uz=0, zodat we al heel eenvoudig aflezen dat $y^\prime=y$ en $z^\prime=z$.Ook de transformatie voor de tijd, $t^\prime=\gamma(t-ux/c^2)$ vindt men eenvoudig terug. Tenslotte merken we op dat in dit geval ux=u en dus ux2/u2=1, zodat

$x^\prime=x+(\gamma-1)\frac{u_x^2}{u^2}x-\gamma u_xt= (1+(\gamma-1))x-\gamma ut=\gamma(x-ut)$

Opgave (ii) vraagt het optellen van snelheden af te leiden door twee keer achter elkaar een Lorentz transformatie uit te voeren, met respectievelijk snelheden u1 en u2, beide in de x-richting. We gebruiken dat

$x'=\gamma(u_1)(x-u_1t)$, $t'=\gamma(u_1)(t-u_1x/c^2)$, $x''=\gamma(u_2)(x'-u_2t')$, $t''=\gamma(u_2)(t'-u_2x'/c^2)$.

We kunnen nu (x",t") uitdrukken in (x,t), door (x',t') te elimineren

$x''=\gamma(u_2)(\gamma(u_1)(x-u_1t)-u_2\gamma(u_1)(t-u_1x/c^2))=$$\gamma(u_1)\gamma(u_2)[(1+u_1u_2/c^2)x-(u_1+u_2)t]$, $t''=\gamma(u_2)(\gamma(u_1)(t-u_1x/c^2)-u_2\gamma(u_1)(x-u_1t)/c^2)=$$\gamma(u_1)\gamma(u_2)[(1+u_1u_2/c^2)t-(u_1+u_2)x/c^2]$.

Dit heeft inderdaad de vorm van een Lorentz transformatie als we u=(u1+u2)/(1+u1u2/c2) definieren,

$x''=\gamma(u_1)\gamma(u_2)(1+u_1u_2/c^2)(x-ut)$, $t''=\gamma(u_1)\gamma(u_2) (1+u_1u_2/c^2)(t-ux/c^2)$.

Kennelijk moet dus gelden $\gamma(u)=\gamma(u_1)\gamma(u_2)(1+u_1u_2/c^2)$.Om dit te bewijzen schrijven we deze vergelijking als $\gamma^{-2}(u_1)\gamma^{-2}(u_2)=\gamma^{-2}(u)(1+u_1u_2/c^2)^2$. Dus moeten we het volgende bewijzen: (1-u12/c2)(1-u22/c2)=(1-u2/c2)(1+u1u2/ c2)2. Gebruiken we nu dat u=(u1+u2)/(1+u1u2/c2), dan laat een kleine berekening zien dat dit inderdaad correct is, zodat twee opeenvolgende Lorentz transformaties met snelheden u1 en u2 weer een Lorentz transformatie is, met een snelheid die verkregen wordt door u1 en u2 relativisitisch op te tellen.