3. Mr. Tompkins neemt vakantie


Mr. Tompkins had zich erg geamuseerd met de avonturen in de relativistische stad, maar vond het jammer dat de professor er niet bij was geweest om hem enige uitleg te geven over de rare verschijnselen: vooral het mysterie van de remmer die er voor kon zorgen dat passagiers niet ouder werden baarde hem zorgen. Vele nachten ging hij naar bed met de hoop zijn interessante stad weer te zien, maar hij droomde zelden en meestal onaangenaam; de laastste keer was het de directeur van de bank die hem ontsloeg omdat hij onzekerheid had ingevoerd in de rekeningen... dus had hij het beter geacht maar een weekje met vakantie naar zee te gaan. En zo bevond hij zich in een treincoupi uit het raam kijkend waar de grauwe daken van de voorstad geleidelijk overgingen in de groene weilanden van het platteland. Hij pakte zijn krant en probeerde zich te verdiepen in het Vietnam-conflict. Maar het was allemaal zo saai en de coupi deinde zo prettig ...
Toen hij zijn krant liet zakken en uit het raam keek was het landschap al weer aanzienlijk veranderd. De telegraafpalen stonden zo dicht naast elkaar dat het wel een schutting leek en de bomen hadden hele smalle kruinen en zagen er uit als Italiaanse cypressen. Tegenover hem zat z'n oude vriend de professor die met grote belangstelling uit het raam keek. Hij was vermoedelijk ingestapt terwijl Mr. Tompkins bezig was met z'n krant.
'We zijn in relativiteitsland,' zei Mr. Tompkins, 'nietwaar?'
'Oh!' riep de professor uit, 'dus dat weet U al! Waar hebt U dat geleerd?'
'Ik ben hier al eens geweest, maar had toen niet het genoegen van Uw gezelschap.'
'Dan zal je deze keer waarschijnlijk wel mijn gids willen zijn,' zei de oude man.
'Dat zou ik niet willen zeggen,' zei Mr.Tompkins haastig. 'Ik heb een heleboel ongebruikelijke dingen gezien, maar de plaatselijke bevolking waarmee ik sprak begreep niet wat mijn probleem was.'
'Dat ligt voor de hand,' zei de professor. 'Zij zijn hier geboren en beschouwen alle verschijnselen om zich heen als vanzelfsprekend. Maar ik stel me voor dat zij enigszins verrast zouden zijn als ze in de wereld terecht kwamen waarin U in de regel leeft. Die zou er voor hen even opmerkelijk uitzien.'
' Mag ik U iets vragen?' zei Mr. Tompkins. 'De vorige keer dat ik hier was, ontmoette ik een remmer van de spoorwegen die volhield dat dankzij het feit dat de trein stopt en weer wegrijdt, de passagiers langzamer oud worden dan de mensen in de stad. Is dit nu tovenarij, of is het ook al in overeenstemming met de moderne wetenschap?'
'Er is nooit een reden te vinden om tovenarij als verklaring te gebruiken.' zei de professor. 'Dit verschijnsel is een direct gevolg van de natuurkundige wetten. Het werd door Einstein aangetoond, op grond van nieuwe (of moet ik zeggen zo-oud-als-de-wereld maar pas ontdekte) denkbeelden over ruimte en tijd, volgens welke alle natuurkundige processen langzamer verlopen als het systeem waarin ze plaatsvinden verandert van snelheid. In onze wereld zijn de gevolgen hiervan bijna niet waarneembaar, maar hier zijn ze duidelijk te merken omdat de lichtsnelheid hier zo laag is. Als je hier bijvoorbeeld een ei wilt bakken en in plaats van de pan rustig op het vuur te laten staan hem de hele tijd heen en weer beweegt, dan zou het bakken geen vijf maar misschien wel zes minuten duren. Ook de processen in het menselijk lichaam verlopen langzamer als de persoon in een schommelstoel zit of in een trein waarvan de snelheid verandert; we leven langzamer onder dergelijke condities. In het geval dat alle processen in dezelfde mate vertragen, geven de natuurkundigen er de voorkeur aan te zeggen dat "in een niet-uniform bewegend systeem, tijd langzamer verloopt".
'Maar zien wetenschappers dergelijke verschijnselen in onze wereld?'
'Dat doen ze, maar er is een buitengewone vaardigheid voor nodig. Het is technisch erg moeilijk om de noodzakelijke versnellingen te krijgen, maar de omstandigheden binnen een niet-uniform bewegend systeem zijn analoog, of moet ik zeggen identiek, aan het resultaat van de invloed van een zeer sterke gravitatiekracht. U zult wel gemerkt hebben dat als U in een lift staat waarin de versnelling naar boven groot is, het net lijkt alsof je zwaarder bent geworden; daarentegen lijkt het alsof je lichter bent geworden als de lift omlaag gaat (je voelt dit het beste als de liftkabel breekt!). De verklaring is dat het gravitatieveld dat ontstaat door de versnelling opgeteld of afgetrokken wordt van het gravitatieveld van de aarde. Zo is de gravitatiepotentiaal op het oppervlak van de zon veel groter dan die op het aardoppervlak en alle processen zullen daar dan ook wat langzamer verlopen. Astronomen nemen dit waar.'
'Maar ze kunnen toch niet naar de zon om dit waar te nemen?'
'Dat is ook niet nodig. Ze bekijken het licht dat ons van de zon bereikt. Dit licht is uitgezonden door trillingen van verschillende atomen in de zonneatmosfeer. Als alle processen langzamer verlopen, vermindert de trillingssnelheid van de atomen ook, en door nu het zonlicht te vergelijken met licht uit een bron op aarde kan men het verschil zien. Weet je trouwens' - onderbrak de professor zichzelf -'hoe dit stationnetje heet waar we nu langs rijden?'
De trein reed langs het perron van een landelijk stationnetje waarop niemand behalve de stationschef te zien was en een kruier die op z'n bagagewagen gezeten een krant las. Plotseling wierp de stationschef zijn armen in de lucht en stortte voorover op de grond. Mr. Tompkins had de knal van een schot niet gehoord, vermoedelijke door de herrie van de trein, maar de plas bloed die zich om het lichaam van de stationschef vormde liet geen twijfel. De professor trok onmiddellijk aan de noodrem en de trein kwam knarsend tot stilstand. Toen ze uit de wagon stapten rende de kruier naar het lichaam en naderde een veldwachter.
'Door het hart geschoten,' sprak de veldwachter na het lichaam onderzocht te hebben, en, zijn hand zwaar op de schouder van de kruier leggend, vervolgde hij:'Ik arresteer U voor de moord op de stationschef.'
'Ik heb hem niet gedood,' riep de ongelukkige kruier uit. 'Ik zat een krant te lezen toen ik het schot hoorde. Deze heren uit de trein hebben vermoedelijk alles gezien en kunnen getuigen dat ik onschuldig ben.'
'Ja,' zie Mr. Tompkins,'ik zag met eigen ogen dat deze man z'n krant zat te lezen toen de stationschef werd neergeschoten. Ik kan het zweren op de bijbel.'
'Maar U zat in de bewegende trein,' zei de veldwachte op gezaghebbende toon,'en daarom is wat U zag op geen enkel manier bewijs. Gezien vanaf het perron had de man wel op hetzelfde moment kunnen schieten. Weet U niet dat gelijktijdigheid afhangt van het systeeem van waaruit je waarneemt? Ga jij maar eens rustig mee,' zei hij zich tot de kruier wendend.
'Neem me kwalijk, agent,' onderbrak de professor,'maar U hebt het volkomen mis, en ik ben bang dat ze Uw onwetendheid op het hoofdbureau niet erg zullen waarderen. Het is waar dat het begrip gelijktijdigheid in Uw land uitermate relativistisch is. Het is ook waar dat twee gebeurtenissen op verschillende plaatsen gelijktijdig kunnen zijn of niet afhankelijk van de beweging van de waarnemer. Maar, zelfs in uw land, kan niemand het gevolg zien voor de oorzaak. U hebt nog nooit een telegram ontvangen voor het was verzonden, nietwaar? Of bent dronken geworden voor U de fles open maakte? Als ik U goed begrijp denkt U dat wij, door de beweging van de trein, het schieten later zagen dan de uitwerking ervan, en omdat we direct uit de trein kwamen zagen we wel de stationschef vallen maar hadden we het schieten zelf nog niet gezien. Ik weet dat men bij de politie leert alleen datgene te geloven wat in het handboek staat geschreven en ik raad U aan daar eens in te kijken dan zult U er wel iets over vinden.
De toon waarop de professor dit had gezegd maakte duidelijk indruk en hij haalde z'n handboek uit zijn zak en begon het langzaam door te lezen. Al snel verscheen een verlegen grijns op zijn grote rode gezicht.
'Hier staat het,' zei hij 'sectie 37, subsectie 12, paragraaf e: "Als een perfect alibi dient te worden erkend, een gezaghebbend bewijs, vanuit welk bewegend systeem dan ook, dat op het moment van het misdrijf of binnen een tijdsinterval van plus of min cd (waarin c de lichtsnelheid en d de afstand tot het misdrijf), de verdachte gezien werd op een andere plaats."'
'U bent vrij, beste kerel,' zei hij tegen de kruier, en zich tot de professor wendend:'Dank U zeer, mijnheer, dat U mij de problemen op het hoofdbureau hebt bespaard. Ik ben pas in dienst en nog niet vertrouwd met al de regels. Ik moet de moord natuurlijk wel rapporteren,' en hij liep naar de telefooncel. Een minuut later schreeuwde hij over het perron.'Alles in orde! Ze hebben de echte moordenaar gepakt toen hij wegrende van het station. Nogmaals bedankt!'
'Ik zal wel erg dom zijn,' zei Mr. Tompkins, toen de trein weer doorreed, 'maar wat betekent al dat gedoe over gelijktijdigheid? Betekent dat echt niets in dit land?'
'Wel iets,' was het antwoord, 'maar tot op zekere hoogte; anders was ik helemaal niet in staat geweest de kruier te helpen. Ziet U, het bestaan van een maximale bewegingssnelheid van een willekeurig lichaam of van de voortplantingssnelheid van elk willekeurig signaal, maakt dat gelijktijdigheid in de gewone betekenis van het woord haar betekenis verliest. U zult het waarschijnlijk anders gezegd beter begrijpen. Stel dat U een vriend hebt in een ver afgelegen stad waarmee U correspondeert en dat de posttrein het snelste communicatiemiddel is. Stel nu dat er iets met U gebeurt op Zondag en U komt te weten dat hetzelfde met Uw vriend zal gebeuren. Het is duidelijk dat U hem dit niet voor Woensdag kunt laten weten. Anderzijds, als hij van tevoren op de hoogte was geweest van wat U te wachten stond, dan had hij uiterlijk de vorige Donderdag een bericht moeten sturen. Dus gedurende zes dagen, van Donderdag tot de volgende Woensdag was Uw vriend niet in staat Uw lot op Zondag te beonvloeden noch zich daarvan op de hoogte te laten brengen. Vanuit het oogpunt van causaliteit, was hij bij wijze van spreken geexcommuniceerd.'
'En een telegram dan?, stelde Mr. Tompkins voor.
'Ja, maar ik heb aangenomen dat de snelheid van de posttrein de maximale snelheid was, net zoals hier in dit land. Thuis is de lichtsnelheid de maximale snelheid en je kunt een signaal niet sneller verzenden dan via de radio.
'Maar toch,' zei Mr. Tompkins, 'ook al kon je niet sneller dan de posttrein, wat heeft dit te maken met gelijktijdigheid? Mijn vriend en ik kunnen nog toch nog steeds op hetzelfde tijdstip op Zondag lunchen?'
'Nee, die uitspraak heeft dan geen betekenis meer; de ene waarnemer zal het beamen, maar een andere, vanuit een andere trein zal volhouden dat U Uw Zondagse lunch op dezelfde tijd nuttigt als Uw vriend zijn Vrijdagse ontbijt. Daarentegen bestaat er geen enkele manier waarop iemand U en Uw vriend gelijktijdig kunnen zien eten op meer dan drie dagen van elkaar.'
'Maar hoe is dat in hemelsnaam mogelijk?' riep Mr. Tompkins vol ongeloof uit.
'Het is allemaal erg eenvoudig, zoals je opgemerkt zult hebben tijdens mijn lezing. De maximale snelheid moet dezelfde blijven vanuit elk bewegend systeem. Als we dit aannemen, moeten we wel concluderen dat ...
Maar hun gesprek werd onderbroken doordat de trein op het station aankwam waar Mr. Tompkins moest uitstappen.

Toen Mr.Tompkins de ochtend na zijn aankomst aan de kust, beneden kwam om te ontbijten in de glazen veranda van het hotel, wachtte hem een grote verrassing. Aan de tafel in de hoek tegenover hem zat de oude professor en een aardig meisje dat de oude man opgewekt iets zat te vertellen en af en toe een blik wierp in de richting van de tafel waaraan Mr. Tompkins zat.
'Ik neem aan dat ik een domme indruk heb gemaakt door in die trein te gaan zitten slapen,' dacht Mr. Tompkins, die steeds kwader op zichzelf werd. 'En de professor herinnert zich vast nog de domme vraag die ik hem stelde over dat jonger worden. Maar dit biedt me tenminste de mogelijkheid nader kennis met hem te maken en hem de dingen te vragen die ik nog steeds niet begrijp.' Hij wilde nier toegeven, zelfs niet aan zichzelf, dat hij niet alleen dacht aan een gesprek met de professor.
'Oh, natuurlijk, ja, ik geloof dat ik me U herinner van mijn lezingen,' zei de professor toen ze de ontbijtzaal verlieten. 'Dit is mijn dochter, Maud. Ze studeert schilderkunst.'
'Ik ben erg blij kennis met U te kunnen maken, juffrouw Maud,' zei Mr. Tompkins, en bedacht dat dit de mooiste naam was die hij ooit had gehoord. 'Ik neem aan dat deze omgeving U prachtig materiaal biedt voor Uw tekeningen.'
'Ze zal ze je wel eens laten zien,' zei de professor, 'maar, zeg eens, hebt U veel opgestoken bij het volgen van mijn lezingen?'
'Oh ja, zeker, heel wat - en ik heb die relativistische contractie van vaste lichamen en het idiote gedrag van klokken zelf ondervonden toen ik een stad bezocht waar de lichtsnelheid niet meer dan 15 kilometer per uur bedroeg.'
'Dan is het jammer dan U mijn volgende lezing over de kromming van de ruimte en het verband hiervan met de gravitatiekrachten van Newton hebt gemist. Maar hier aan het strand hebben we alle tijd, zodat ik U dat allemaal wel kan uitleggen. Begrijpt U bijvoorbeeld het verschil tussen de positieve en negatieve kromming van de ruimte?'
'Pappa', zei juffrouw Maud met een pruilmondje, 'als je weer over natuurkunde gaat praten, denk ik dat ik er vandoor ga en wat ga werken.'
'Uitstekend, meisje, je gaat je gang maar,' zei de professor in een gemakkelijke stoel ploffend. 'Ik begrijp dat je niet veel wiskunde hebt gestudeerd, jongeman; maar ik denk dat ik het je eenvoudig kan uitleggen, door als vereenvoudiging te kijken naar een oppervlak. Stel je voor dat mijnheer Shell - je weet wel, de man van de benzinestations - besluit na te gaan of zijn stations gelijkmatig verspreid zijn in een land, laten we zeggen Amerika. Om dit te doen, geeft hij zijn kantoor, ergens in het midden van het land (Kansas City wordt, geloof ik, beschouwd als het hart van Amerika), opdracht alle stations te tellen binnen een afstand van honderd, tweehonderd, driehonderd enzovoort kilometer van de stad.
Van zijn schooltijd herinnert hij zich nog dat de oppervlakte van een cirkel evenredig is met het kwadraat van zijn straal en hij verwacht dat in het geval van een gelijkmatige verdeling de aantallen van de op deze wijze getelde stations een verloop zal laten zien als dat van de getallen 1; 4; 9; 16 enzovoort. Als het rapport binnenkomt, zal hij hogelijk verbaasd zijn wanneer hij ziet dat de werkelijke aantallen stations veel langzamer toenemen, laten we zeggen, 1; 3.8; 8.5; 15.0 enzovoort. "Wat een rommeltje," zal hij uitroepen; "mijn directeuren in Amerika zijn ongeschikt voor hun functie. Wat is de reden om alle stations rond Kansas City te concentreren?" Maar heeft hij wel de juiste conclusie getrokken?'
'Ja, heeft hij dat?' herhaalde Mr. Tompkins die aan iets anders zat te denken.
'Nee, dat heeft hij niet,' zei de professor ernstig. 'Hij is vergeten dat het oppervlak van de aarde niet plat is maar bol. En op een bol neemt het oppervlakte van een gebied met een gegeven straal veel langzamer toe met de straal dan in een plat vlak. Begrijpt U dat werkelijk niet? Goed dan, neem een bol en probeer het zelf in te zien Als je bijvoorbeeld op de noordpool bent, dan is de cirkel met straal gelijk aan de helft van een meridiaan de evenaar en het oppervlak daar binnen is het noordelijk halfrond. Maak nu de straal twee keer zo groot en je hebt het hele aardoppervlak; de oppervlakte wordt slechts tweemaal groter in plaats van viermaal zoals het geval zou zijn op een plat vlak. Begrijpt U het nu?'
'Ja, ja,' zei Mr. Tompkins, z'n best doend om een oplettende indruk te maken. 'en is dit nu een positieve of een negatieve kromming?'
'Dit noemen we een positive kromming, en zoals U ziet aan het voorbeeld van de bol, komt dit overeen met een eindig oppervlak met een gedefinieerde oppervlakte. Een voorbeeld van een oppervlak met negatieve kromming is een zadel.'
'Een zadel?' herhaalde Mr. Tompkins.
'Ja, een zadeloppervlak, of op het oppervlak van de aarde door een zadelvormig vlak tussen twee bergen. Veronderstel dat een botanicus in een berghut in zo'n zadelholte woont en geonteresseerd is in groeidichtheid van dennebomen rond de hut. Als hij het aantal dennen telt binnen honderd, tweehonderd, enzovoort meter van de hut, zal hij ontdekken dat het aantal dennen sneller toeneemt dan het kwadraat van de afstand, omdat namelijk op een zadeloppervlak de oppervlakte binnen een gegeven straal groter is dan die op een plat vlak. Van zulke oppervlakken zeggen we dat ze een negatieve kromming hebben. Als je een zadeloppervlak wilt uitspreiden op een platvlak moet je vouwen maken terwijl je in het geval van een boloppervlak zult moeten knippen tenzij het elastisch is.'
'Ik begrijp het,' zei Mr. Tompkins. 'En U bedoelt te zeggen dat een zadeloppervlak oneindig is maar wel gekromd.'
'Precies', beaamde de professor. 'Een zadeloppervlak breidt zich oneindig uit in alle richtingen en en is onbegrensd. Natuurlijk, verliest het oppervlak in mijn voorbeeld van de berg zijn negatieve kromming zodra je uit de bergen bent en overgaat op het positief gekromde oppervlak van de aarde. Maar U kunt zich natuurlijk wel een oppervlak voorstellen dat zijn negatieve kromming behoudt.'
'Maar hoe gaat dit nu bij gekromde driedimensionale oppervlakken?'
'Op precies dezelfde manier. Veronderstel dat voorwerpen uniform verdeeld zijn over de ruimte, ik bedoel zo, dat de afstand tussen twee naburige voorwerpen altijd dezelfde is en laten we aannemen dat je deze gaat tellen binnen verschillende afstanden vanaf het punt waar je staat. Als de aantallen evenredig toenemen met het kwadraat van de afstand dan noemen we de ruimte vlak; is de toename langzamer of sneller dan zeggen we we dat de ruimte een positieve of negatieve kromming heeft.'
'Dus in het geval van een positieve kromming is het volume van de ruimte binnen een bepaalde afstand kleiner en bij een negatieve kromming groter?' zie Mr. Tompkins verrast.
'Precies,' glimlachte de professor. 'Dat hebt U goed begrepen. Om de kromming van het heelal waarin wij leven te bepalen, hoef je alleen maar de aantallen ver verwijderde objecten te tellen. De grote nevels, waarover U zeker wel eens gehoord hebt, zijn uniform verdeeld over de ruimte en kunnen waargenomen worden tot op afstanden van enkele duizenden lichtjaren; ze voldoen uitstekend om de kromming van het heelal vast te stellen.'
'En het resultaat is dat ons heelal eindig en begrensd is?'
'Dat is te zeggen,' zei de professor, 'het vraagstuk is eigenlijk nog niet opgelost. In zijn oorspronkelijke geschriften over kosmologie, beweerde Einstein dat het heelal eindig is qua afmeting, begrensd en onveranderlijk in de tijd. Later toonde het werk van de Russische wiskundige A.A. Friedmann aan, dat de basis vergelijkingen van Einstein de mogelijkheid openliet voor uitdijing of contractie van het heelal in de loop der tijd. Deze wiskundige conclusie werd bevestigd door een Amerikaanse sterrekundige E. Hubble die, met de 110-inch telescoop van het Mount Wilson observatorium, vaststelde dat de melkwegstelsels zich van elkaar verwijderen, m.a.w. dat ons heelal uitdijt. Overblijft de vraag of deze uitdijing oneindig lang doorgaat of dat er op zeker moment een maximum wordt bereikt waarna het heelal begint te krimpen. Deze vraag kan alleen worden beantwoord door meer nauwkeuriger astronomische waarnemingen.'

Terwijl de professor zo zat te vertellen, vonden er de meest vreemde veranderingen plaats in hun omgeving: het ene uiteinde van de ontvangsthal werd extreem smal waarbij alle meubels werden samengeperst terwijl het andere uiteinde zo groot werd dat Mr. Tompkins de indruk had dat het hele heelal er wel in kon passen. Een afschuwelijke gedachte kwam bij hem op: stel je voor dat een deel van de ruimte op het strand, waar juffrouw Maud aan het schilderen was, van de rest van het heelal zou worden afgescheurd. Dan zou hij haar nooit meer kunnen ontmoeten! Terwijl hij naar de deur rende hoorde hij de professor nog achter zich schreeuwen.'Wees voorzichtig! De quantumconstante is ook al gek aan 't worden!' Toen hij op het strand kwam leek het eerst stampvol. Duizenden meisjes renden wanordelijk in allerlei richtingen. 'Hoe kan ik in hemelsnaam Maud vinden in deze menigte?' dacht hij. Maar toen zag hij ineens dat ze er allemaal precies uitzagen als de dochter van de professor en realiseerde hij zich dat dit gewoon het grapje van het onzekerheids principe was. Het volgende ogenblik was de golf van de abnormale grote quantum constante voorbij, en juffrouw Maud, stond angstig om zich heen kijkend op het strand.
'Oh, U bent het!' mompelde ze opgelucht. 'Ik dacht dat er een enorme menigte op me af kwam. Het komt waarschijnlijk door die gloeiende zon op mijn hoofd. Wacht even dan ren ik naar het hotel en haal mijn hoed.'
'Nee, nee, we moeten nu niet uit elkaar gaan,' protesteerde Mr. Tompkins. 'Ik heb de indruk dat de lichtsnelheid ook aan het veranderen is; als je terugkomt uit het hotel zou ik wel eens in een oude man veranderd kunnen zijn!'
'Onzin,' zei het meisje, maar pakte toch de hand van Mr. Tompkins. Halverwege het hotel, werden ze opnieuw overvallen door een onzekerheids golf en Mr. Tompkins en het meisje werden verspreid over de hele kust. Op hetzelfde moment daalde een ruimteplooi van de nabijgelegen heuvels af en verboog de rotsen en vissershuisjes tot allerlei rare vormen. De zonnestralen, afgebogen door een enorm gravitatieveld, verdwenen volledig achter de horizon en Mr. Tompkins stortte in een diepe duisternis.
Het duurde wel een eeuw voordat een stem die hem zeer dierbaar was hem weer bij zinnen bracht.
'Oh,' zei het meisje, 'ik zie dat mijn vader U in slaap gewiegd heeft met zijn verhalen over de natuurkunde. Hebt U zin om met me te gaan zwemmen, het water is heerlijk vandaag?'
Mr. Tompkins kwam uit zijn stoel alsof hij werd gestoken. 'Dus het was allemaal maar een droom,' dacht hij, naar het strand lopend. 'Of begint de droom nu pas?'

Naar hoofdstuk 4.