Extra opgaven ter oefening van de stof
1.
Gegeven twee inertiaalsystemen S en $S^\prime$, met ruimte-tijd coordinaten (x,y,z,t) en $(x^\prime,y^\prime,z^\prime,t^\prime)$. Het stelsel $S^\prime$ beweegt t.o.v. het stelsel S met een constante snelheid u in de positieve y richting. We veronderstellen daarbij niet dat de oorsprong van $S^\prime$ samenvalt met de oorsprong van S; de oorsprong van $S^\prime$ heeft t.o.v. S de coordinaten x=x0, y=y0, z=z0 en t=t0.
a.
Geef de transformatie formules van S naar $S^\prime$ en van $S^\prime$ naar S.
b.
Beschouw vervolgens een puntdeeltje dat zich t.o.v. van S beweegt volgens de formules
x(t)=vx t+bx,
y(t)=vy t+by,
z(t)=vz t+bz,
i.
Wat zijn de formules van deze beweging t.o.v. $S^\prime$?
ii.
Druk de nieuwe snelheidscomponenten $v_x^\prime$, $v_y^\prime$ en $v_z^\prime$ uit in vx, vy, vz en c.
iii.
Neem nu vx=vz=0, en ga na dat het resultaat voor $v_y^\prime$in overeenstemming is met de transformatieformule (4.23) voor de snelheid in de syllabus.


2.
We bevinden ons in een inertiaalstelsel S, met ruimte-tijd coordinaten (x,y,z,t). Een staaf beweegt zich in zijn lengte richting langs de x-as, met constante positieve snelheid v. De in S gemeten lengte noemen we $\ell$. Er is een tweede inertiaalstelsel $S^\prime$, met coördinaten $(x^\prime,y^\prime,z^\prime, t^\prime)$, dat zich met een snelheid u in de x-richting beweegt.
a.
Wat is de snelheid $v^\prime$ van de staaf, zoals gemeten in $S^\prime$?
b.
Wat is de lengte $\ell^\prime$ van de staaf, zoals gemeten in $S^\prime$?
c.
Voor welke waarden van u is $\ell^\prime$ kleiner dan $\ell$,groter dan $\ell$, gelijk aan $\ell$? Voor welke waarden van u heeft $\ell^\prime$ een minimum of een maximum? Teken de grafiek van $\ell^\prime/ \ell$ als functie van u, voor vaste v. Wat zou men de ``eigen lengte'' van de staaf kunnen noemen?


3.
We bevinden ons in een inertiaalstelsel S, met ruimte-tijd coördinaten (x,y,z,t) en gaan van daaruit over op een inertiaalstelsel $S^\prime$, met coördinaten $(x^\prime,y^\prime,z^\prime,t^\prime)$, dat zich t.o.v. S in de x-richting beweegt met een snelheid ux. Vervolgens gaan we vanuit $S^\prime$ over naar een derde inertiaalstelsel S", met (x",y",z",t"), dat zich t.o.v. $S^\prime$ in de $y^\prime$-richting beweegt met een snelheid $u_y^\prime$.
a.
Bereken de transformatie van S naar S".
b.
Bereken de snelheid $(\tilde u_x,\tilde u_y,\tilde u_z)$ van een vast punt van S", met coördinaten x"=a, y"=b, z"=c, t.o.v. S.
c.
De transformatie $S\rightarrow S^\prime$ noemen we een standaard Lorentz transformatie in de x-richting, die van $S^\prime$ naar S" een standaard Lorentz transformatie in de $y^\prime$-richting. Is de samengestelde transformatie $S\rightarrow S''$ weer een standaard Lorentz transformatie in één of andere richting, bijvoorbeeld in de richting van de onder (b) gevonden snelheid $(\tilde u_x,\tilde u_y,\tilde u_z)$? Vergelijk voor de beantwoording van deze vraag de onder (a) gevonden formules met de algemene formules (4.41) in de syllabus. Zie ook opgave 14 van de syllabus.


4.
Een Lorentz 4-vector heeft in het inertiaalstelsel S de componenten a0=a1=2, a2=0, a3=1 (in kg.m/s).
a.
Is dit een tijdachtige, lichtachtige of ruimteachtige 4-vector? Geef de zeer eenvoudige korte berekening die tot het antwoord op deze vraag leidt. Kan deze 4-vector de energie-impuls vector van een bewegend deeltje met massa m>0 zijn? Zo ja, bereken deze massa.
b.
We gaan over naar een nieuw inertiaalstelsel $S^\prime$ dat zich t.o.v. van S beweegt met een snelheid u in de positieve x-richting. Bereken $(a^\prime_0, a^\prime_1, a^\prime_2, a^\prime_3)$ in dit nieuwe stelsel. Is de 4-vector nu tijdachtig, lichtachtig of ruimteachtig? Geef het antwoord door een directe berekening als bij (a) én door gebruik te maken van algemene argumenten.


5.
Een ruimteschip, met aan boord Kirk en Spock, beweegt zich rechtlijnig met een constante snelheid v>0 in de x-richting van ons intertiaalstelsel S. Op het tijdstip t=t0, als het ruimteschip zich op de plaats x=x0, y=y0, z=z0 bevindt, stapt Spock in een ruimtependel en vertrekt met een constante snelheid vP, veel groter dan v, in de x-richting naar een verafgelegen ster, welke we in ons inertiaalstelsel als vast zullen beschouwen. Op t=t0 is de door ons gemeten afstand tussen ruimteschip en ster d. Spock komt op t=t1 bij deze ster aan, doet snel enkele waarnemingen (helaas geen planeet van M-class) en gaat met de zelfde snelheid terug. Hij bereikt het moederschip op het tijdstip t=t2, om verslag te doen aan Kirk die achter was gebleven, en rustig met constante snelheid v zijn schip op koers heeft gehouden.
a.
Druk t2 en de plaats van ontmoeting, x=x2, uit in de gegeven grootheden x0,t0,v,vP en d. Bij dit alles spelen de ruimtelijke coördinaten y en z geen rol. We kunnen daarom de beschrijving van de gebeurtenissen verhelderen door gebruik te maken van een twee dimensionaal ruimte-tijd plaatje in het (x,t) vlak. Teken zo'n plaatje.
b.
Kirk en Spock hebben allebei een atoomklok bij zich die voor ieder de eigentijd aangeeft en die bij het vertrek van Spock met elkaar gesynchroniseerd worden. Wat zijn de eigentijden die Kirk en Spock bij terugkomst van Spock aflezen? Wat is de verhouding $\Delta\tau(Spock)/ \Delta\tau(Kirk)$ van de gedurende de reis verlopen tijdsintervallen (t0, t1 en t2, zijnde de specifieke gebeurtenissen van vertrek, keren bij de ster en terugkomst). Wie van Kirk of Spock is bij de terugkomst ouder?


6.
Een deeltje met een massa m1 bevindt zich in rust; een tweede deeltje met massa m2 beweegt zich met een snelheid $\vec v=(v,0,0)$, en botst op het eerste deeltje. We veronderstellen v en uiteraard m1 en m2 positief. Tengevolge van deze botsing worden de twee deeltjes geannihileerd en wordt er één nieuw deeltje gecreëerd, met massa $m^\prime$ en met snelheid $\vec v{\,}^\prime$.
a.
Stel de balans op voor de componenten van de totale relativistische impuls en energie, vóór en na de botsing.
b.
Laat hiermee zien dat $v_2^\prime=v_3^\prime=0$.
c.
Druk $v^\prime=v_1^\prime$ uit in v, m1 en m2.
d.
Wanneer hangt $v^\prime$ niet af van de massa's m1 en m2?


7.
Doppler-effect voor radar.
a.
Langs een snelweg staat radar-apparatuur voor snelheidscontrole. Een uitgezonden signaal heeft een frequentie van 2400 MHz, de echo van een naderende auto blijkt 600 Hz verschoven te zijn. Hoe groot was de snelheid van de auto in km/uur? Had de echo een hogere of lagere frequentie dan het uitgezonden signaal?
b.
Een ruimteschip nadert een planeet met een constante snelheid ter grootte van c/11 en stuurt een radarsignaal van 2500 MHZ uit. Welke frequentie heeft de echo voor de planeet-bewoner en welke voor het ruimteschip?


8.
Uit een hoge-energie versneller komt een bundel $\pi$-mesonen, waarvan de intensiteit tot de helft gedaald is op 37m vanaf het trefplaatje waar zij gevormd zijn. Neem aan dat alle mesonen een snelheid van 0,99 c hadden. De halveringstijd van een stilstaand $\pi$-meson is $1,78\times10^{-8}s$.
a.
Kontroleer de afstand van 37m door deze met de tijdsdilatatie te berekenen.
b.
Doe hetzelfde uitgaande van de Lorentz contractie.


9.
We beschouwen inertiaalstelsels S en $S^\prime$ die t.o.v. elkaar in de x-richting bewegen met een snelheid v.
a.
Een waarnemer in het stelsel $S^\prime$ passeert een klok in S op x=1m van de oorsprong. Synchronisatie van de klokken heeft als gewoonlijk plaats als de oorsprong van de twee stelsels met elkaar samenvallen. Wat wijzen de klok in S (op x=1m) en de eigen klok van $S^\prime$ (op $x^\prime=0$) dan aan als $\gamma(v)=5/4$?
b.
Gegeven is dat $\gamma(v)=2$. Als de eigen klok van S (in x=0) op 10 minuten staat kijkt een waarnemer in S op dezelfde plaats (x=0) door een telescoop naar de klok van $S^\prime$ (in $x^\prime=0$). Welke tijd leest de waarnemer af op deze klok?


10.
Een deeltje met snelheid 0,6 c in het laboratorium emitteert een elektron, dat in het ruststelsel van het oorspronkelijke deeltje een snelheid 0,75 c heeft. Bereken de snelheid van het electron in het laboratorium
a.
als het in voorwaartse richting wordt waargenomen.
b.
als het loodrecht in het ruststelsel van het oorspronkelijke deeltje wordt uitgezonden.
c.
als het loodrecht op de bewegingsrichting van het oorspronkelijke deeltje in het laboratorium wordt waargenomen.


11.
We beschouwen twee ruimte-tijd voorvallen met coördinaten
${\rm I}: (x;y;z;t)=(0,3 m; 0,5 m; 0 m;2\times 10^{-9} s),$
${\rm II}: (x;y;z;t)=(0,4 m; 0,7 m; 0 m;3\times 10^{-9} s).$
a.
Kan II veroorzaakt zijn door I (of omgekeerd)?
b.
Is er een stelsel $S^\prime$ waarin I en II gelijktijdig zijn? Zo ja, specificeer dat stelsel en vindt de afstand tussen I en II in dat stelsel.
c.
Is er een stelsel S" waarin I en II gelijke ruimtelijke posities hebben? Zo ja, specificeer dat stelsel en vindt de tijd die verstreken is tussen I en II in dat stelsel.
d.
Beantwoord dezelfde vragen voor twee gebeurtenissen
${\rm I}: (x;y;z;t)=(0,7 m; 0,5 m; 0 m;5\times 10^{-9} s),$
${\rm II}: (x;y;z;t)=(0,4 m; 0,6 m; 0 m;4\times 10^{-9} s).$


12.
Vaak is niet de snelheid maar wel de kinetische energie (T) van een deeltje bekend, bijv. bij een versneller waar we weten hoeveel energie we aan het deeltje hebben meegegeven tijdens het proces van versnelling. Als mogelijk criterium om te bepalen of men het deeltje relativistisch moet behandelen kan dienen de waarde van (Trel-Tklas)/Tklas.
a.
Stel dat deze correctie 1% mag bedragen om nog als klassiek te mogen worden beschouwd. Hoe groot mag dan T/E0, waarin E0 de rustenergie is, ongeveer zijn?
b.
Hoe groot is v/c bij die grens?
c.
Rustmassa's van elementaire deeltjes worden vaak in electron-Volts (eV) uitgedrukt. Een eV is de energie die een electron krijgt bij het doorlopen van het potentiaalverschil van 1 Volt. De rustmassa wordt dus verkregen door deze energie door c2 te delen. Daarom is de massa van het electron 511 keV/c2 en de massa van het proton 938 MeV/c2 (hier staan uiteraard keV voor kilo-electron-Volt en MeV voor Mega-electron-Volt), maar vaak wordt de c2 weggelaten. Bereken de toegestane kinetische energie T voor electron en proton in eV, gebaseerd op het 1% criterium.


13.
Bij botsingsreakties geldt wel behoud van energie, maar niet behoud van massa (rustenergie). Zie bijv. opgave 21 van de syllabus.
a.
Een deeltje met rustmassa m en kinetische energie 2mc2 botst met een stilstaand deeltje met rustmassa 2m. Na de botsing gaan de twee deeltjes als één nieuw deeltje verder. Bereken de rustmassa en de snelheid van dit nieuwe deeltje.
b.
Een foton met een energie E wordt geabsorbeerd door een stilstaand deeltje met rustmassa m. Welke snelheid krijgt het deeltje?


14.
We hebben voor de test van het transversale Doppler-effect het Mössbauer principe genoemd en het principe van resonante absorbtie. We zullen dat hier eens iets nader bekijken om er wat meer inzicht in te krijgen.
a.
Een deeltje, in rust in het laboratorium, verkeert in een aangeslagen toestand, waarin het een rustenergie $E_0^\prime$ heeft. Het kan door het uitzenden van een foton overgaan in een toestand met rustenergie E0. De rustenergie neemt dus af met $\Delta E_0=E_0^\prime-E_0$. De energie van het foton ($h\nu_1$) zal iets kleiner dan $\Delta E_0$ zijn. Verklaar dit! Leid af dat

\begin{displaymath} h\nu_1=\Delta E_0(1-\frac{\Delta E_0}{2E_0^\prime})\end{displaymath}

en maak een schatting voor $\Delta E_0/(2E_0^\prime)$ voor het geval dat het om zichtbaar licht en om gammastraling gaat.
b.
Omgekeerd beschouwen we een rustend deeltje met energie E0, dat door absorbtie van een foton met frequentie $\nu_2$ overgaat naar een aangeslagen toestand met rustenergie $E_0^\prime$. Nu zal $h\nu_2$ iets groter moeten zijn dan $\Delta E_0$. Verklaar ook dit! Leid af dat

\begin{displaymath} h\nu_2=\Delta E_0(1+\frac{\Delta E_0}{2E_0})\end{displaymath}

c.
Als we twee atomen van dezelfde soort hebben, bijv. natrium atomen, waarvan er een zich in de eerste aangeslagen toestand bevindt, kan het atoom dat zich in de grondtoestand bevindt dan het foton absorberen dat door het aangeslagen atoom wordt uitgezonden (zoiets heet resonante absorbtie)? (Uit de quatummechanica volgt dat de verschillende aangeslagen toestanden - zolang er nog geen ionisatie heeft plaatsgevonden - slechts heel bepaalde, voor het atoom specifieke, discrete energiewaarden kan aannemen.) Als we op de onderdelen (a) en (b) afgaan zou het antwoord op deze vraag nee zijn, omdat de fotonenerie met een factor $(1-\Delta E_0/(2E^\prime_0))/(1+\Delta E_0/(2E_0)) \sim 1-\Delta E_0/E_0$ te klein zou zijn om geabsorbeerd te kunnen worden. Dit zou betekenen dat materie transparant zou zijn voor zijn eigen straling! Noem zoveel mogelijk redenen waarom i.h.b. voor een gas, zoals bij de zon, resonante absorptie wel degelijk kan optreden.
d.
Waarom is resonante absorptie wel mogelijk bij het Mössbauer effect, en wat is de voorwaarde die daarbij aan de emissie moet worden gesteld. Waarom willen we bij de test van het transversale Doppler-effect niet dat de emissie plaatsvindt bij precies dezelfde energie als de absorptie? Bereken de omloopsnelheid die nodig is om de verschuiving van de frequentie van gammastralen van 412 keV (uitgezonden door 198Hg), tengevolge van de terugstoot bij emissie te compenseren door het transversale Doppler-effect.


15.
Bereken de bindingsenergie in MeV van een koolstofatoom 12C uit het feit dat per definitie de massa van het koolstofatoom 12 atomaire massa eenheden is, terwijl de massa van een waterstof atoom en een neutron respectievelijk 1,007825 en 1,008665 atomaire massa eenheden bedraagt. Een atomaire massa eenheid is $1,66053\times10^{-27}kg$. Waarom is dit niet gelijk aan de massa van het proton, zoals gegeven in opgave 12 hierboven (gebruik dat $c=2,997925\times 10^8 m/s$ en $e=1,60219\times10^{-19} C$). Vergelijk het antwoord voor de bindingsenergie met de rustenergie van een electron, eveneens gegeven in opgave 12. Welke fout maken we door onze berekening te baseren op neutrale koolstof en waterstof atomen? Geef een ruwe schatting van deze fout.