2.
a.
Gebruik hiervoor formule (4.41) uit de syllabus. Dit geeft
\begin{displaymath} v'=\frac{v-u}{1-uv/c^2}\end{displaymath} (8)
b.
De bewegende staaf heeft in S een lengte $\ell$, en is daar t.g.v de Lorentz-FitzGerald contractie een factor $\gamma(v)$ korter dan in het eigen ruststelsel. Daar bedraagt de lengte derhalve $\ell_{{\rm rust}}=\ell\gamma(v)$.In S' heeft de staaf met rustlengte $\ell_{{\rm rust}}$ en snelheid v' een lengte $\ell_{{\rm rust}}/\gamma(v')$ (wederom Lorentz-FitzGerald), ofwel
\begin{displaymath} \ell'=\ell\frac{\sqrt{1-\left(\frac{c(v-u)}{c^2-{uv}}\right)^2}} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{displaymath} (9)
c.
We lossen eerst op $\ell'=\ell$. Dit geeft $\sqrt{1-(c(v-u)/(c^2-uv))^2} =\sqrt{1-v^2/c^2}$. Kwadrateren en oplossen geeft $(v -u)/(1-uv/c^2)=\pm v$. We behandelen de twee gevallen ($\pm$) apart
\begin{displaymath} \begin{array} {l} +:\qquad v-u=v-u v^2/c^2\Rightarrow\Big\{ ... ...ghtarrow\ \,u=\frac{2v}{1+v^2/c^2}:{\rm oplossing~2}\end{array}\end{displaymath} (10)

\begin{figure} \vspace{4.2cm} \hskip4cm \special{psfile=ex2fig.eps voffset=-35 hoffset=0 vscale=55.0 hscale=55.0}\end{figure}
We vinden de volgende interpretaties. Oplossing 1 (u=0): De stelsels S en S' vallen samen, zodat $\ell=\ell'$. Oplossing 2 (u=2v/(1+v2/c2)): In stelsel S' heeft de staaf nu een snelheid -v (relativistische optelling van snelheden!), en dus dezelfde Lorentz-FitzGerald contractie als in S, m.a.w. $\ell=\ell'$. Zorgvuldige analyse van
\begin{displaymath} 1-\left(\frac{c(v-u)}{c^2-uv}\right)^2\gt 1-v^2/c^2\end{displaymath} (11)
leert dat $\ell'\gt\ell$ wanneer 0<u<2v/(1+v2/c2). In dit regime gaat de staaf langzamer in S' dan in S en ondergaat deze derhalve een kleinere contractie. Tenslotte $\ell'<\ell$ als -c<u<0 of 2v/(1+v2/c2)<u<c. Nu gaat de staaf in S' sneller dan in S (naar rechts, resp. links) en wordt dus sterker ingekrompen. Voor de minima en maxima: deze worden - afgezien van de randminima in $u=\pm c\ $ (daar is $\ell'=0$, de ultieme Lorentz-FitzGerald contractie) - gegeven door de oplossingen van $d\ell'/du=0$. Zo krijgt men
\begin{displaymath} \frac{d}{du}{\sqrt{1-\left(\frac{c(v-u)}{c^2-{uv}}\right)^2}}=\... ...sqrt{1-\left(\frac{c(u-v)}{1-u v/c^2} \right)^2}=0\Rightarrow u=v.\end{displaymath} (12)
Dit is een maximum,
\begin{displaymath} \ell'_{max}=\ell'(u=v)=\ell/\sqrt{1-v^2/c^2}.\end{displaymath} (13)
In deze situatie beweegt S' met de staaf mee, ofwel: S' is het eigen ruststelsel van de staaf. Hier heeft de staaf geen lengte-contractie ondergaan en is de lengte maximaal, de eigenlengte.